อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek_cha
ทำไม
${(1+ \frac{x}{n})}^n = 1+x+\frac{n(n+1)}{2}\frac{x^2}{n^2}\dots>\frac{x^2}{4} \,and\, \frac{x^3}{27}$
ช่วยดูให้ด้วยนะครับบ ว่าทำไมถึงมากกว่า
|
ถ้า $x\geq 0$ และ $n\geq 3$ จะเป็นจริงครับ
${(1+ \frac{x}{n})}^n = 1+x+\dfrac{n(n-1)}{2}\dfrac{x^2}{n^2}+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}\dfrac{x^3}{n^3}+\cdots$
เนื่องจาก $x\geq 0$ จึงเพียงพอที่จะแสดงว่า
$\dfrac{n(n-1)x^2}{2n^2}\geq \dfrac{x^2}{4}$
$\dfrac{n(n-1)(n-2)x^3}{6n^3}\geq \dfrac{x^3}{27}$
ซึ่งก็เำพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$\dfrac{n(n-1)}{2n^2}\geq \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6n^3}\geq \dfrac{1}{27}$
แต่
$\dfrac{n(n-1)}{2n^2}\geq \dfrac{1}{4}$
สมมูลกับ
$\dfrac{n-1}{n}\geq \dfrac{1}{2}$
$2n-2\geq n$
$n-2\geq 0$
$n\geq 2$
และ
$\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6n^3}\geq \dfrac{1}{27}$
สมมูลกับ
$\dfrac{(n-1)(n-2)}{2n^2}\geq \dfrac{1}{9}$
$9(n-1)(n-2)\geq 2n^2$
$9n^2-27n+18\geq 2n^2$
$7n^2-27n+18\geq 0$
$(n-3)(7n-6)\geq 0$
ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริงจากข้อสมมติ