[RoSe-JoKer]

ทำให้อสมการอยู่ในรูปแบบทั่วไป แทน a=a+b b=b+c c=c+a
อสมการเปลี่ยนเป็น
$(e-1)\sum_{cyc} a^3+(2e+1)\sum_{cyc} ab^2 \geq 6(e-1)abc + (e+2)\sum_{cyc} a^2b$
ซึ่งต่อไปนี้จะใช้ CID theorem ในการพิสูจน์เห็นได้ว่า
$1.P(1,1,1)$ เป็นจริงเราได้ว่า $L.H.S=R.H.S$
ต่อไปนี้จะทำการพิสูจน์ว่า
$2.P(a,b,0)$ เป็นจริงสำหรับ $a,b\in R+$
นั้นคือเราจะต้องพิสูจน์ว่า
$(e-1)(a^3+b^3)+(2e+1)ab^2-(e+2)a^2b\geq 0$ หารด้วย $b^3$ ตลอด
นั้นคือเราจะต้องทำการพิสูจน์ว่า
$f(x)=(e-1)x^3-(e+2)x^2+(2e+1)x+(e-1)\geq 0$ ทุก $x\in R+ $
เห็นได้ว่า
$f'(x)=3(e-1)x^2-2(e+2)x+(2e+1)$ ซึ่งเห็นได้ว่า $f'(x)$ มีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อน แสดงว่า$ f'(x)>0 $
แสดงว่า$ f(x) $เป็นฟังก์ชั่นเพิ่มสำหรับ $x\in R$
เห็นได้ว่าค่าต่ำสุดของ $f(x)$ เกิดขึ้นเมื่อ $x=0$ สำหรับ $x\in R+$ นั้นคือ
$f(0)=e-1>0$ นั้นเอง
นั้นคือ
$P(a,b,0)$ เป็นจริงสำหรับทุก $a,b \in R+$
สรุปได้ว่า
$(e-1)\sum_{cyc} a^3+(2e+1)\sum_{cyc} ab^2 \geq 6(e-1)abc + (e+2)\sum_{cyc} a^2b$
เป็นจริง
นั้นคือเราได้ว่าถ้า a,b,c เป็นด้านของสามเหลี่ยมแล้วเราได้ว่า
$(e−1)(a^3+b^3+c^3)+(e+2)(ab^2+bc^2+ca^2)≥(2e+1)(a^2b+b^2c+c^2a)$