สวัสดีเจ้าค่ะ...
มีคนมาแนะนำข้อนี้ให้ลอง แล้วหลังจากช่วยกับคนที่แนะนำให้นั้นอยู่ครู่ใหญ่ๆ + ค้นหาแนวทางแก้ปัญหาจากบนเนต (อาศัยแนวคิดจาก
http://answers.google.com/answers/th...id/607614.html เจ้าค่ะ)ก็ได้คำตอบซึ่งต้องใช้แคลคูลัสด้วยน่ะเจ้าค่ะ (ถ้าใครอยากจะลองหาวิธีพื้นฐานก่อนก็อย่าเพิ่งอ่านนะเจ้าคะ)
ก่อนอื่นนิยามลำดับ
$A_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n}$
$B_n = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot ... \cdot \frac{2n}{2n+1}$
สังเกตว่า $(\sqrt{n}A_n)(\sqrt{n}B_n) = \frac{n}{2n+1}$ ดังนั้น $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n}A_n)(\sqrt{n}B_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2}$
ในอีกทางหนึ่ง $\frac{\sqrt{n}A_n}{\sqrt{n}B_n}=\frac{(1/2)(3/4)...({2n-1}/2n)}{(2/3)(4/5)...(2n/{2n+1})}=\frac{(1 \cdot 3)(3 \cdot 5)...({2n-1} \cdot {2n+1})}{(2 \cdot 2)(4 \cdot 4)...({2n} \cdot {2n})}$ จะได้ว่า $\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n}A_n}{\sqrt{n}B_n}=(\prod_{n = 1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)})^{-1}=\frac{2}{\pi}$
(จาก Wallis's product url:
http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product )
ต่อไป $(A_n)^2 = (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n})(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n}) < (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n})(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot ... \cdot \frac{2n}{2n+1})=\frac{1}{2n+1} \rightarrow \sqrt{n}A_n<\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2n+1}}<\frac{1}{\sqrt{2}}$
แต่ $\frac{\sqrt{n+1}A_{n+1}}{\sqrt{n}A_n} = \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}\frac{2n+1}{2n+2}=\sqrt{\frac{(2n+1)^2}{4n(n+1)}}>1$
ดังนั้น $\sqrt{n}A_n$ จึงเป็นลำดับเพิ่มโดยแท้ซึ่งมีขอบเขตบน จะได้ว่า $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}A_n=A$ หาค่าได้
ในทำนองเดียวกัน $(B_n)^2 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot ... \cdot \frac{2n}{2n+1})(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot ... \cdot \frac{2n}{2n+1}) < (\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot ... \cdot \frac{2n}{2n+1})(\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{2n+1}{2n+2})=\frac{1}{n+1} \rightarrow \sqrt{n}B_n<\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}<1$
แต่ $\frac{\sqrt{n+1}B_{n+1}}{\sqrt{n}B_n} = \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}\frac{2n+2}{2n+3}=\sqrt{\frac{4n^3+12n^2+12n+4}{4n^3+12n^2+9n}}>1$
ดังนั้น $\sqrt{n}B_n$ เองก็เป็นลำดับเพิ่มโดยแท้ซึ่งมีขอบเขตบน และจะได้ว่า $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}B_n=B$ หาค่าได้
ตอนนี้เราจึงได้ว่า $AB=\frac{1}{2}$ และ $\frac{A}{B}=\frac{2}{\pi}$ ซึ่งแก้สมการจะได้ว่า $A=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$
คราวนี้ $A_n$ เป็นลำดับเพิ่มโดยแท้ ถ้ามี $N_0 \in \mathbb{Z}^{+}$ ที่ $\sqrt{N_0}A_{N_0} \geqslant A$ แล้ว $\sqrt{n}A_n$ จะออกห่างจาก $A$ ไปเรื่อยๆ ขัดแย้งกับการที่ $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}A_n=A$
ดังนั้น $\forall n \in \mathbb{Z} ^{+}[\sqrt{n}A_n < A]$
หรือก็คือ $\forall n \in \mathbb{Z} ^{+}[A_n < \frac{1}{\sqrt{n \pi}}]$ นั่นเอง
ถือว่าเป็นวิธีทำที่ยากพอสมควร... แต่ด้วยวิธีพื้นฐานก็ไม่รู้จะดึงพจน์ $\sqrt{\pi}$ มาจากไหนเหมือนกันเจ้าค่ะ... ยังไงจะพยายามหาคำตอบวิธีที่ง่ายกว่านี้ดูนะเจ้าคะ