อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja
จงหาพหุนาม $F(x)$ ทั้งหมดซึ่ง $F(0)=2$ และ $F(x^2+1)=(F(x))^2+1$ สำหรับทุก $x$
 |
$F(0)=2$ และ $F(x^2+1)$ = $(F(x))^2+1$
ที่
x = 0 ได้ $F(0^2+1)$ = $(F(0))^2+1$ = $(2)^2+1$ ---> $F(1)$ = $5$
ที่
x = 1 ได้ $F(1^2+1)$ = $(F(1))^2+1$ = $(5)^2+1$ ---> $F(2)$ = $26$
ที่
x = 2 ได้ $F(2^2+1)$ = $(F(2))^2+1$ = $(26)^2+1$ ---> $F(5)$ = $676$
จากกรณีที่ x = 1 เราพบว่า $26$ = $(5)^2+1$,
ดังนั้นเราจะได้ว่า $F(5)$ = $((5)^2+1)^2+1$
ลองแทนค่า x = 5 ได้ $F(5^2+1)$ = $(F(5))^2+1$ = $(676)^2+1$ ---> $F(26)$ = $(676)^2+1$
แต่ $676$ = $(26)^2+1$
ดังนั้นเราจะได้ว่า $F(26)$ = $((26)^2+1)^2+1$
เราจึงได้รูป $F(x)$ = $(x^2+1)^2+1$ และลองแทนค่า
x = 0 ลงในสมการ จะได้ $F(0)=2$ (จริง),
สรุปได้ว่าพหุนาม $F(x)$ = $(x^2+1)^2+1$ ที่ได้จะเป็นจริงทุกกรณีตามเงื่อนไขที่โจทย์ให้มาครับ...
