[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

แต่ผมยังมีข้อสงสัยอยู่ (ความรู้น้อย )
1. 1.5! ผมเคยเห็นในบอร์ดวิชาการเมื่อนานมาแล้ว มันมีค่าเท่าไหร่หรอครับ
2. -2! ผมเคยกดเครื่องคิดเลขดู มันบอกว่า = 1

ตอบข้อ 2. จากความเดิม กรณีที่มีการคำนวณนอกเหนือจากการนิยามใน $n!=\prod_{k = 1}^{n}k $ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก คือ 0! เพือป้องกันการเกิดขบวนการ recursive ที่ error เราจะต้องนิยามในส่วนนี้โดยให้มีค่าเท่ากับ 1 เสมอ นั่นคือ ต้องนิยาม 0! = 1 ซึ่งเราเรียกส่วนนี้ว่าเป็น empty product หรือ nullary product ในทำนองเดียวกันกับเครื่องคิดเลข Process ที่ต้องมีการคำนวณ recursive เพื่อป้องกันการเกิด error จากการคำนวณ (-2)! ซึ่งไม่ได้นิยามค่า หรือ $(-2)! = \Gamma (-1) = หาค่าไม่ได้ $ จะใช้วิธีการ empty product หรือ nullary product เพื่อใม่ให้มีการ error โดยให้คำตอบเป็น 1 เสมอ ซึ่งสามารถกำหนดค่าได้โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป สามารถดูเพิ่มเติมได้ที่นี่

ตอบข้อ 1.
===> คิดแบบสูตร จากสูตร $ (n+\frac{1}{2})! = \sqrt{\pi } \prod_{k = 0}^{n}\frac{2k+1}{2} $ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ จะได้ว่า $$ \frac{3}{2}! = (1+\frac{1}{2})! = \sqrt{\pi } \prod_{k = 0}^{1}\frac{2k+1}{2} = \sqrt{\pi } \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2} =\frac{3\sqrt{\pi } }{4} $$
ปล. สูตรคิดไม่ยากจากวิธีการคิดโดยใช้นิยามปกติ เราอาจคิดสูตร $ (n+\frac{1}{m})! $ เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศุนย์ ไว้ใช้เองก็ได้.... ไม่ยาก
===> คิดแบบนิยามปกติ โดยอาศัยองค์ประกอบของนิยามต่อไปนี้
$$ \Gamma (n+1) = n! , \Gamma (n+1) = n\Gamma (n) , \Gamma (n)=\int_{0}^{\infty}\,{t}^{n-1}{e}^{-t}dt $$
เอาละลุยเลย ก่อนอื่นต้องคำนวณ $\Gamma (\frac{1}{2} )$ ก่อน ซึ่งจะได้ $$ \Gamma (\frac{1}{2} )=\int_{0}^{\infty}\,{t}^{-1/2}{e}^{-t}dt = \sqrt{\pi } $$ ซึ่งการคำนวณค่อนข้างยุ่งยากในระดับ Basic เอาเป็นว่าได้คำตอบคือ $\sqrt{\pi } $ ก็แล้วกัน ต่อไปก็คำนวณ $\frac{3}{2}! $ เลย จะได้ว่า
$$\frac{3}{2}! = \Gamma (\frac{3}{2} +1) = \frac{3}{2}\Gamma (\frac{3}{2} ) =\frac{3}{2}\Gamma (\frac{1}{2}+1 ) = \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \Gamma (\frac{1}{2} )= \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi }=\frac{3\sqrt{\pi } }{4} $$
จะเห็นว่าเป็นขบวนการ recursive ไปเรื่อยๆ จนถึง $\Gamma (\frac{1}{2} )$
ปล. ให้ Source ของคำตอบของ $\Gamma (\frac{1}{m} )$ เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 2 ไว้ให้เผื่อใครจะคิดสูตร $ (n+\frac{1}{m})! $ ไว้ใช้เอง ................. จบบริบูรณ์