[Ai-Ko]

สวัสดีเจ้าค่ะ...

จริงๆ ยังไม่แน่ใจว่าคำตอบนี้ถูกรึเปล่านะเจ้าคะ แต่ยังจะอธิบายอีกที เผื่อว่าจะจบได้ซะทีเนอะ... ก่อนอื่น กำหนด $G(x) = F(x) - ((x^2+1)^2+1)$
เราจะพิสูจน์ได้ว่า
$$G(x^2+1)=G(x)[G(x)+2(x^2+1)^2 + 2]...(*)$$
ตรงนี้เรานิยามลำดับ $a_1=0, a_n = a_{n-1}^2+1$ ขึ้นมาเจ้าค่ะ
ก่อนอื่นสังเกตว่า $G(a_1) = G(0) = 0$
ต่อไปสมมติว่า $G(a_n) = 0$ เราจะพิสูจน์ว่า $G(a_n^2+1) = G(a_{n+1}) = 0$ นะเจ้าคะ
เราแทนค่า $x = a_n$ ลงใน $(*)$ จะได้ว่า
$$G(a_n^2+1) = G(a_n)[G(a_n) +2(a_n^2+1)^2+2] = 0$$
เจ้าค่ะ เพราะฉะนั้น $G(a_{n+1}) = 0$ ไปด้วย เป็นอันจบการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เจ้าค่ะ