[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ai-Ko

สวัสดีเจ้าค่ะ...

$\sqrt[n+1]{(n+1)!} > \sqrt[n]{n!}$ แสดงว่าลำดับนี้เป็นลำดับเพิ่มโดยแท้ แล้วค่าเริ่มต้นด้วย $(1!)^\frac{1}{1}=1$ ต่อให้ลู่เข้า ลิมิตก็ต้องมีค่ามากกว่า $1$ อยู่แล้วไม่ใช่เหรอเจ้าคะ?

ค่าเริ่มต้นด้วย $(1!)^\frac{1}{1}=1$ ต่อให้ลู่เข้า ลิมิตก็ต้องมีค่ามากกว่า $1$ อาจจะไม่แน่เสมอไปครับ เพราะเราต้องพิจารณาที่ $ \sqrt[n+1]{(n+1)!}-\sqrt[n]{n!} > 0 $ ครับผม ซึ่งในกระบวนการของลิมิตอาจมีคำตอบที่เป็น inf ในอสมการก็ได้ครับ ....

กำหนดให้ $f(x) = \sqrt[x+1]{(x+1)!}-\sqrt[x]{x!}$ จะได้ว่า
$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \sqrt[x+1]{(x+1)!} - \lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{x!} = A-B $$ โดยที่ $A =\lim_{x \to \infty} \sqrt[x+1]{(x+1)!} , B= \lim_{x \to \infty} \sqrt[x]{x!} $ ต่อไปหา A , B = ?

ให้ $y = \sqrt[x+1]{(x+1)!} $ จะได้ว่า $$ \lim_{x \to \infty} ln y = \lim_{x \to \infty} ln( \sqrt[x+1]{(x+1)!}) = \lim_{x \to \infty} \frac{ln((x+1)!)}{x+1} \left(\,\right. \frac{\infty }{\infty } \left.\,\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d((x+1)!)}{dx} }{(x+1)!} = 0 $$
เพราะว่า ดีกรีของ $ \frac{d((x+1)!)}{dx} $ < ดีกรีของ (x+1)! เสมอ เพราะฉะนั้น $ ln(\lim_{x \to \infty} y) = 0 $ นั่นคือ A = $ \lim_{x \to \infty} y = {e}^{0} = 1 $
ในทำนองเดียวกันจะได้ B = 1 เพราะฉะนั้น $ \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 $ แต่ Point of Sequence $L_n$ อยู่ใน Function f(x) ดังนั้น $ \lim_{n \to \infty} L_n = 0 $ #