ผมก็รู้ไม่มากนัก อธิบายเท่าที่จำได้นะครับ

การทำ Fourier Transform จะมีชื่อเรียกต่างกันออกไปตามลักษณะของฟังก์ชันครับ กล่าวคือ
1. หากเป็นฟังก์ชันรายคาบแบบต่อเนื่อง (Periodic and Continous) จะมีชื่อเรียกว่า อนุกรมฟูเรียร์ (Fourier Series : FS)
2. หากเป็นฟังก์ชันไม่มีคาบแบบต่อเนื่อง (Non Periodic and Continous) จะมีชื่อเรียกว่า ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์ม (Fourier Transform : FT)
3. หากเป็นฟังก์ชันรายคาบแบบไม่ต่อเนื่อง (Periodic and Discrete) จะมีชื่อเรียกว่า อนุกรมฟูเรียร์ไม่ต่อเนื่อง (Discrete Fourier Series : DFS)
4. หากเป็นฟังก์ชันไม่มีคาบแบบไม่ต่อเนื่อง (Non Periodic and Discrete) จะมีชื่อเรียกว่า ฟูเรียร์ทรานส์ฟอร์มไม่ต่อเนื่อง (Discrete Fourier Transform : DFT)

ฟังก์ชันแบบที่ 3 และ 4 จะใช้ในงาน DSP (Discrete Time Signal Processing) มาก แต่หากคำนวณการแปลงตรงๆจะมีปัญหา เพราะใช้เวลาคำนวณนานมาก และเกิดความผิดพลาดสะสมในการคำนวณมากด้วย จึงมีผู้คิดเทคนิคหลายแบบ ที่ช่วยให้คำนวณได้เร็วขึ้นและมีความผิดพลาดสะสมลดลง เรียกว่า Fast Fourier Transform (FFT)

ผลการแปลง Laplace Transform ไม่มีความหมายทางกายภาพแต่อย่างใด แต่ช่วยวิเคราะห์ผลตอบของระบบเชิงเส้น และแก้สมการดิฟเฟอเรนเชียลได้ โดเมนผลลัพธ์ของ Laplace Transform นั้นกว้างกว่าของ Fourier Transform โดย โดเมนผลลัพธ์ของ Fourier Transform เป็นเพียงแกนจินตภาพของ S Plane ของ Laplace Transform เท่านั้น

หมายเหตุ : Laplace Transform ที่รู้จักกันทั่วไป มีอีกชื่อเรียกหนึ่งว่า ลาปลาสทรานส์ฟอร์มข้างเดียว ยังมีลาปลาสทรานส์ฟอร์มสองข้าง ที่อินทิเกรตจาก ลบอนันต์ไปจนถึงอนันต์ด้วย และหากเราแทน s ในลาปลาสทรานส์ฟอร์มสองข้าง ด้วย jw ก็จะได้การแปลงฟูเรียร์นั่นเอง