[tatari/nightmare]

นี่คือโจทย์ IE ที่ผมตั้งใจจะเอาไปลง mathcenter contest ครับแต่เห็นว่ามันยากเกินก็เลยเปลี่ยนใจ 55+
ขอเชิญท่านเทพ IE มา discuss กันได้เลยนะครับ

1.ให้ $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่งสอดคล้องเงื่อนไข
$$a_1a_2...a_5 =a_1(1+a_2)+a_2(1+a_3)+...+a_5(1+a_1)+2$$
จงหาค่าตำสุดของ $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}$

2.ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ตดลบที่สอดคล้องสมการ $a^2+b^2+c^2+d^2=4$
จงแสดงว่า $$\sqrt{2}(4-ab-bc-cd-da)\geq (\sqrt{2}+1)(4-a-b-c-d)$$

3.สำหรับทุกจำนวนจริงบวก $a,b,c$ จงพิสูจน์ว่า
$$\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}+\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}\geq \sqrt{\dfrac{6(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}}$$

4.ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $a+b+c+1=4abc$ จงแสดงว่า
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3 \geq \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}$$

5.ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ แล้วจงพิสูจน์ว่า
$$a^4(b+c)+b^4(c+a)+c^4(a+b)\leq \frac{1}{12}(a+b+c)^5$$

6.ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}+\frac{(a-b)^2}{4(a+b)^2}+\frac{(b-c)^2}{4(b+c)^2}+\frac{(c-a)^2}{4(c+a)^2}$$