อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ beginner01
นิยาม $\displaystyle A_a(n)=\sum_{i = 1}^{n} (2i-1)^a$
$\displaystyle B_a(n)=\sum_{i = 1}^{n} (2i)^a$
$\displaystyle S_a(n)=\frac{A_a(n)}{B_a(n)}$
จงหาค่าของ $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_a(n)$ สำหรับแต่ละ $a\in\mathbb{R}$
ป.ล.โจทย์ดั้งเดิมคือ $\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_{\frac{1}{7}}(n)$
ถ้าหาด้านบนไม่ได้ แต่หาอันด้านล่างได้ ก็ช่วยให้ solution ให้ทีครับ ขอบคุณครับ  |
แต่ผมมีวิธีคิดอีกแบบหนึ่งซึ่งไม่แน่ใจว่าจะถูกหรือป่าว ยังไงก็ช่วยชี้แนะด้วยนะครับ
$\displaystyle A_a(n)=\sum_{i = 1}^{n} (2i-1)^a = 1 + 3^a + 5^a + ... + (2n-1)^a$
$\displaystyle B_a(n)=\sum_{i = 1}^{n} (2i)^a = 2^a + 4^a + 6^a + ... + (2n)^a$
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_a(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 3^a + 5^a + ... + (2n-1)^a}{2^a + 4^a + 6^a + ... + (2n)^a}$
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_a(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 3^a + 5^a + ... + (2n-1)^a}{2^a + 4^a + 6^a + ... + (2n)^a} \times \frac{n^a}{n^a}$
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_a(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1 + 3^a + 5^a + ... + (2n-1)^a}{n^a}}{\frac{2^a + 4^a + 6^a + ... + (2n)^a}{n^a}}$
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_a(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1 + 3^a + 5^a + ... +}{n^a} \frac{(2n-1)^a}{n^a}}{\frac{2^a + 4^a + 6^a + ... +}{n^a} \frac{(2n)^a}{n^a}}$
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_a(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1 + 3^a + 5^a + ... +}{n^a} (2 - \frac{1}{n^a})^a}{\frac{2^a + 4^a + 6^a + ... +}{n^a} (2)^a}$
เมื่อ take limit จะได้
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_a(n) = \frac{0 + 0 + 0 + ... + (2-0)^a}{0 + 0 + 0 + ... + (2)^a}$
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_a(n) = 1 , a\in \mathbb{R} $
ผมไม่แน่ใจว่าถูกหรือป่าวนะครับ ยังไงก็ช่วยชี้แนะด้วย