[nooonuii]

ขอเรียกย่อๆว่า $A_n,B_n$ นะครับ

case 1 $a>-1$ ให้ $f(x)=x^a$

$\displaystyle{\dfrac{2A_n}{n^{a+1}}=\dfrac{2}{n}\sum_{i=1}^n\Big(\dfrac{2i-1}{n}\Big)^a}$

$~~~~~~~~\displaystyle{=\dfrac{2}{n}\sum_{i=1}^nf(2i-1)}$

$~~~~~~~~\displaystyle{\to \int_0^2x^adx}$

$~~~~~~~~\displaystyle{=\dfrac{2^{a+1}}{a+1}}$ as $n\to\infty$

$\displaystyle{\dfrac{B_n}{n^{a+1}}=\dfrac{2^a}{n}\sum_{i=1}^n\Big(\dfrac{i}{n}\Big)^a}$

$~~~~~~~~\displaystyle{=2^a\cdot \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nf\Big(\dfrac{i}{n}\Big)}$

$~~~~~~~~\displaystyle{\to 2^a\int_0^1x^adx}$

$~~~~~~~~=\dfrac{2^a}{a+1}$ as $n\to\infty$

ดังนั้น

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}=1}$

case 2 $a=-1$

จากเอกลักษณ์

$1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{2n}$

เราจะได้ว่า

$\dfrac{A_n}{B_n}=1+\dfrac{(n+1)^{-1}+(n+2)^{-1}+\cdots+(2n)^{-1}}{B_n}$

พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า

$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots +\dfrac{1}{2n}\leq \dfrac{n}{n+1}<1$


และ $B_n\to\infty$ as $n\to\infty$

ดังนั้น

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}=1+0=1}$

หมายเหตุ หากต้องการลิมิตแบบละเอียดก็ใช้ Riemann sum หาได้ครับ

ให้ $g(x)=\dfrac{1}{1+x}$
$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots +\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{n}\Big[\dfrac{1}{1+\frac{1}{n}}+\dfrac{1}{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\dfrac{1}{1+\frac{n}{n}}\Big]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\displaystyle{=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}g\Big(\dfrac{i}{n}\Big)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\displaystyle{\to\int_0^1\dfrac{1}{1+x}dx}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\ln{2}$