โทษทีครับ. ลืมเข้ามาดูคำตอบของคุณ wizz เกือบถูกต้องแล้วครับ. ตอนนี้ผมได้ invite มาจาก gmail เพิ่มอีก 4 ที่ งงเหมือนกันว่าทำไม gmail ให้สิทธิ์ผม invite เพิ่มอีกเร็วจัง.
หลังจากที่ได้ว่า \(z^5 = \frac{1}{1-\sqrt{3}i}\) ตรงนี้ไม่ต้องแปลงต่อไปเป็น \(\, \frac{1+\sqrt{3}i}{4}\) ก็ได้ครับ.
เพราะ ถ้า \(z^5 = \frac{1}{1-\sqrt{3}i}\) แล้ว \(|z|^5 = |\frac{1}{1-\sqrt{3}i}| = \frac{1}{2} \Rightarrow |z| = \frac{1}{\sqrt[5]{2}}\)
ซึ่งจะได้ว่า \(|z_1| = |z_2| = ... = |z_5| = \frac{1}{\sqrt[5]{2}}\)
นั่นคือ \(|z_1|+|z_2|+|z_3| = \frac{3}{\sqrt[5]{2}}\)
Note :
1) ถ้า \(z = a + bi \Rightarrow |z| = \sqrt{a^2+b^2}\)
2) ถ้า \(z^n = a + bi = r(cos \theta + isin \theta) \Rightarrow |z|^n = | a + bi | = |r(cos \theta + isin \theta) |= |r|\sqrt{cos^2\theta + sin^2\theta} = |r| \)
นั่นคือ \(z_1, z_2, ... , z_n\) ทุกตัวจะมีขนาดเท่ากัน คือ \(|z| = \sqrt[n]{|r|}\)
|