[warut]

ข้อความเดิมของคุณ gon:
ข้อ 33 ตอนที่ 2
สำหรับแต่ละ k = 1, 2, 3, ... , 2547 ให้ a_k ฮ {-1, 0, 1}
จงหาค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ \( \sum_{i=1}^{2546}(\sum_{j=i+1}^{2547}a_ia_j) \)

วิธีทำของผมมีดังนี้ครับ (คงไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุดอีกตามเคย)

ถ้าลองวาด diagram ของ array \(\{a_ia_j\}_{i,j=1}^{2547}\) จะพบว่า
\[\sum_{i=1}^{2547}\sum_{j=1}^{2547}a_ia_j=
2\sum_{i=1}^{2546}\sum_{j=i+1}^{2547}a_ia_j+\sum_{i=1}^{2547}a_i^2\]
แต่
\[\sum_{i=1}^{2547}\sum_{j=1}^{2547}a_ia_j=
\left(\sum_{i=1}^{2547}a_i\right)\left(\sum_{j=1}^{2547}a_j\right)=
\left(\sum_{i=1}^{2547}a_i\right)^2\]
ดังนั้น
\[2\sum_{i=1}^{2546}\sum_{j=i+1}^{2547}a_ia_j=
\left(\sum_{i=1}^{2547}a_i\right)^2-\sum_{i=1}^{2547}a_i^2\]
ค่าต่ำสุดของ \(\left(\sum_{i=1}^{2547}a_i\right)^2\) คือ 0 ส่วนค่าสูงสุดของ \(\sum_{i=1}^{2547}a_i^2\) คือ 2547
ดังนั้น \(\sum_{i=1}^{2546}\sum_{j=i+1}^{2547}a_i a_j\) จึงไม่อาจมีค่าต่ำกว่า -1273.5 ได้
แต่เนื่องจากค่าผลบวกนั้นต้องเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นมันจึงไม่อาจมีค่าต่ำกว่า -1273 ได้
(โชคดีที่) ค่านี้เกิดขึ้นได้จริงเมื่อ ใน a₁, a₂, ..., a₂₅₄₇ มี 0 อยู่หนึ่งตัว
และที่เหลือเป็น 1 กับ -1 อย่างละเท่าๆกัน