ขอบคุณ คุณ warut สำหรับแนวคิดข้อ 33 ตอนที่ 2 นะครับ. ทำให้ผมต่อจิ๊กซอในการให้เหตุผลในข้อนี้ได้สมบูรณ์แล้ว ผมคิดว่าไม่เป็นการโชคดีครับ. ว่ามีรูปแบบนั้น แต่รูปแบบดังกล่าวมีอยู่เสมอ และมีได้หลายรูปแบบ ผมคิดแบบนี้ครับ.
เนื่องจาก ak ฮ {-1,0,1} ซึ่งถ้าจับสมาชิกในเซตมาคูณกันเองก็จะได้เป็น -1,0,1 เช่นกัน ดังนั้นเพื่อให้ได้ผลบวกที่มีค่าต่ำที่สุด เราจึงต้องทำให้เกิดผลคูณที่มีค่าเป็น -1 จำนวนมากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้
พิจารณากรณีที่มีสมาชิก n ตัว โดยที่ n เป็นจำนวนคู่ เราก็จะแบ่งสมาชิกออกเป็น 2 พวก คือ -1 กับ 1 อย่างละ n/2 ตัว
\[ \bmatrix{-1 & -1 & -1 & \cdots &-1\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1} \]
จะเห็นได้ว่าในแถวที่ 1 เมื่อจับคู่คูณกันเองจะได้ผลลัพธ์เป็น \( {\frac{n}{2} \choose 2} \, \) และ แถวที่สอง จับคู่คูณกันเองจะได้ผลลัพธ์เป็น \( {\frac{n}{2} \choose 2} \, \) ส่วนเมื่อคูณในแนวทแยงก็จะได้ \( -(\frac{n}{2})(\frac{n}{2}) \)
นั่นคือ เมื่อรวมกันทั้งหมดก็จะได้ \[ 2{\frac{n}{2} \choose 2} - (\frac{n}{2})(\frac{n}{2}) = 2(\frac{n}{2})(\frac{n}{2} - 1)(\frac{1}{2}) - -(\frac{n}{2})(\frac{n}{2}) = (\frac{n}{2})(\frac{n}{2}-1-\frac{n}{2}) = -\frac{n}{2} \]
ทีนี้เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ เราก็ตั้งแบบเดิม แต่เราจะมีตัวเลือกว่าจะเติมตัวที่ไม่มีคู่นี้เป็นอะไรดี ซึ่งเราก็จะพบว่าไม่ว่าจะเติมจำนวนอะไร ก็จะไม่กระเทือนคือได้ ศูนย์เสมอ เพราะเดิมเรามี -1 กับ 1 อยู่เป็นจำนวนเท่า ๆ กัน
ดังนั้น ในข้อนี้นอกไปจากคำตอบแบบแรก คือมี -1 กับ 1 อยู่อย่างละ 1273 จำนวน และ 0 อีกจำนวน ยังสามารถเป็น (-1,-1,...,-1,1,1,...,1) โดยมี -1 อยู่ 1274 จำนวน และ 1 อยู่ 1273 จำนวน หรือ มี -1 อยู่ 1273 จำนวน และ 1 อยู่ 1274 จำนวน
|