[gon]

สมาคม ฯ ปีนี้ข้อเติมคำ ไม่ธรรมดาครับ. เกือบทุกข้อทำเอาผมสะอึกอย่างน้อย 2 ที ข้อตรีโกณชุดนี้ก็สนุกครับ. ทำเสร็จแล้วได้ความรู้ใหม่
ให้ \(A = \sin x \cdot \sin y + \sin y \cdot \sin z + \sin z \cdot \sin x \)
และ \(B = \cos x \cdot \cos y + \cos y \cdot \cos z + \cos z \cdot \cos x \)
ขั้นที่ 1 สมมติให้ \( \displaystyle { \frac{\sin x + \sin y + \sin z}{\sin(x + y + z)} = \frac{\cos x + \cos y + \cos z}{\cos(x + y + z)} = m } \)
\(\therefore \quad (\sin x + \sin y + \sin z) = m \cdot \sin(x+y+z) \quad \cdots (1)\)
\(\therefore \quad (\cos x + \cos y + \cos z) = m \cdot \cos(x+y+z) \quad \cdots (2)\)
\( (1)^2 + (2)^2 : 3 + 2A + 2B = m^2 \Rightarrow B = \frac{m^2 - 3 - 2A}{2} \quad \cdots (3) \)

ขั้นที่ 2 :
\[ \sin x \cdot (1) + \cos x \cdot (2) + \sin y \cdot (1) + \cos y \cdot (2) + \sin z \cdot (1) + \cos z \cdot (2) \] ก็จะได้ว่า
\[ 3 + 2A + 2B = m[\cos(x+y) + \cos(y+z) + \cos(z+x) ] = m[B - A]\]
แต่จาก (3) จึงได้ว่า
\[ m^2 = m[B - A] \Rightarrow m = B - A \Rightarrow B = m + A \quad \cdots (4) \]
\[ (3) = (4) : \frac{m^2 - 3 - 2A}{2} = m + A \Rightarrow m^2 - 3 - 2A = 2m + 2A \]
\[\therefore \quad 4A = m^2 - 2m - 3 \Rightarrow A = \frac{(m-3)(m+1)}{4}\]
ในข้อนี้ \(\, m = 2 : \Rightarrow A = \frac{(2-3)(2+1)}{4} = -\frac{3}{4}\)

หมายเหตุ : \( B = \frac{(m+3)(m-1)}{4} \,\) และใน ขั้นที่ 2 เราจะได้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจในกรณีทั่วไป คือ ถ้า
\[ \frac{\sin A_1 + \sin A_2 + \cdots + \sin A_n}{\sin(A_1 + A_2 + \cdots + A_n)} = \frac{\cos A_1 + \cos A_2 + \cdots + \cos A_n}{\cos(A_1 + A_2 + \cdots + A_n)} \]
แล้วแต่ละเศษส่วนจะมีค่าเท่ากับ
\[ \cos(A_1+A_2+ \cdots + A_{n-1}) + \cos(A_1 + A_2 + \cdots + A_{n-2} + A_n) + \cdots + \cos(A_2 + A_3 + \cdots + A_{n-1}) \]
ด้วย เช่น ถ้า \( \displaystyle { \frac{\sin x + \sin y + \sin z + \sin w}{\sin(x + y + z + w)} = \frac{\cos x + \cos y + \cos z + \sin w}{\cos(x + y + z + w)}} \)
แล้วแต่ละเศษส่วนจะมีค่าเท่ากับ
\( \cos(x+y+z) + \cos(x+y+w) + \cos(x+z+w) + \cos(y+z+w) \)