[warut]

โจทย์ข้อ 22 น่าจะมีปัญหาอย่างที่คุณ gon บอกจริงๆด้วยล่ะครับ

ผมคิดว่าระดับม.ปลายนี่เรียนแค่ real matrix ยังไม่คลุมไปถึง complex matrix ใช่เปล่าครับ
ปัญหาก็คือ matrix A ขนาด 3 x 3 ที่สอดคล้องกับสมการ A² = A - I ไม่ใช่ real matrix
ทุกอันเลยครับ ดังนั้นถ้าจะทำข้อนี้ก็ต้องทำแบบ complex matrix เท่านั้นน่ะครับ
ซึ่งผมก็ไม่คิดว่าผู้ออกข้อสอบต้องการให้เป็นเช่นนั้น อย่างไรก็ตามถ้าทำแบบ complex
เราจะได้ว่าข้อความ (1) ในโจทย์ผิด และข้อความ (2) ถูกครับ

พิสูจน์ว่า A ไม่ใช่ real matrix
จะเห็นว่า A เป็น invertible matrix และ A^-1 = I - A เพราะ A(I - A) = A - A² = I
จาก A² = A - I = -A^-1 ดังนั้น A³ = -I
นั่นคือ (det A)³ = (-1)³ = -1 เพราะ A มีมิติ 3 x 3
แสดงว่า det A = -1, e^pi/3, e^-pi/3
ถ้า A เป็น real matrix แล้ว det A ต้องเท่ากับ -1
เนื่องจาก (A + I)² = A² + 2A + I = 3A
ดังนั้น (det(A + I))² = 3³det A
ถ้า det A = -1 เราจะได้ det(A + I) = ฑ3ึ3i
แสดงว่า A + I ไม่ใช่ real matrix ดังนั้น A จึงไม่ใช่ real matrix ด้วย

พิสูจน์ว่าข้อความ (1) ในโจทย์ผิด
จาก A² = A - I เอา A^-1 คูณตลอดจะได้ A = I - A^-1 หรือ A + A^-1 = I
แต่เรารู้ว่า A^-1 = (adj A)/(det A)
ดังนั้น A + (adj A)/(det A) = I
ถ้า det A = -1 เราจะได้ A - adj A = I
แต่ถ้า det A น -1 นั่นคือ det A = e^ฑpi/3 เราจะได้ว่า\[A+\frac{adj A}{\det A}=A-adj A+\left(1+\frac{1}{\det A}\right)adj A=I\]
แสดงว่า
\[A-adj A=I\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{\det A}\right)adj A=0\Leftrightarrow adj A=0\Leftrightarrow(\det A)A^{-1}=0\]
แต่ det A น 0 และ A^-1 น 0 ดังนั้นในกรณีที่ det A = e^ฑpi/3 เราจะได้ว่า A - adj A น I
สรุปได้ว่า A - adj A ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ I นั่นคือข้อความ (1) ในโจทย์ผิด

พิสูจน์ว่าข้อความ (2) ในโจทย์ถูก
เนื่องจาก (det(A + I))² = 3³det A น 0 เพราะ A invertible
ดังนั้น det(A + I) น 0 นั่นคือข้อความ (2) ในโจทย์ถูก

ใครพอมีเวลาก็ช่วยเช็คการพิสูจน์ของผมให้หน่อยนะครับ เพราะมันยาวมากมีโอกาสผิดพลาดสูง
ขอบคุณล่วงหน้าครับ