[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

หลังจากพยายามคิดโดยใช้ความรู้ไม่เกินม.ปลายตามเจตนาของผู้ออกโจทย์จะได้แบบนี้ครับ

จากเงื่อนไขโจทย์ได้ว่า

$f(0)=0,f'(0)=-2,g(0)=1,g'(0)=-\dfrac{1}{2}$

$$\lim_{x \to 0} \frac{(f(x))^3 + x^2 g(x) - x^2}{\left(\sqrt[4]{1+x^2} -1\right)f(x) }=\lim_{x\to 0}\dfrac{\Big(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\Big)^3+\Big(\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}\Big)}{\dfrac{1}{\Big(\sqrt[4]{1+x^2}+1\Big)\Big(\sqrt{1+x^2}+1\Big)}\Big(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\Big)} $$

$$=\frac{(f'(0))^3+g'(0)}{(1/2)(1/2)f'(0)}~~~~~~~~~~~$$

$$=17~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

ผมใช้วิธีทำแบบนี้ได้หรือเปล่าครับช่วยชี้แนะด้วยครับ
เนื่องจากกำหนดให้ $2x + y = 0$ สัมผัสกราฟของ $y = f(x)$ ดังนั้นจะได้ว่า $y =-2x = f(x)$
และเส้นตรง $x + 2y = 2$ สัมผัสกราฟของ $y = g(x)$ ดังนั้นจะได้ว่า $y =-\frac{1}{2}x+1 = g(x)$
แล้วนำไปแทนค่าใน $\lim_{x \to 0} \frac{(f(x))^3 + x^2 g(x) - x^2}{\left(\sqrt[4]{1+x^2} -1\right)f(x) } = \lim_{x \to 0} \frac{(-2x)^3 + x^2(-\frac{1}{2}x+1) - x^2}{\left(\sqrt[4]{1+x^2} -1\right)(-2x) }=\lim_{x \to 0} \frac{17x^2 }{4\left(\sqrt[4]{1+x^2} -1\right)}$
แล้วก็นำเอา $(\sqrt[4]{1+x^2} +1)(\sqrt{1+x^2} +1)$ คูณทั้งเศษและส่วน แล้วค่อย take limit จะได้คำตอบ 17