[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ prachya

รบกวนถามเกี่ยวกับการอินทิเกรตตัวนี้หน่อยครับ เป็นโจทย์ข้อนึงในฟิสิกส์ แต่สมการที่มีปัญหาอยู่ที่เจ้านี่ครับ

$$ \int_{0}^{d}\,cosec(\frac{\pi x}{d})dx $$

ผมค่อนข้างมั่นใจว่าอินทิเกรตตัวนี้ลู่ออก

ซึ่งโจทย์ข้อนี้อาจารย์ท่านนึงได้เฉลยไว้ว่า อินทิเกรตออกมาจะติด ln2
เมื่อผมสอบถามกับอาจารย์อีกท่านนึง ก็ยังยืนยันว่าอินทิเกรตได้
ทำให้ผมค้างคาใจมากเลยครับว่าผมเข้าใจอะไรผิดไปรึเปล่า

มายืนยันอีกคนว่าลู่ออกครับ จะพบว่าบนช่วงการอินทิเกรตของโจทย์ $csc(\frac{\pi x}{d})$ ไม่ต่อเนื่องที่ x = 0,d โดยที่ d > 0 ดังนั้นให้ $ c \in (0,d) $ จะได้ว่า
$$
\int_{0}^{d}\,csc(\frac{\pi x}{d})dx = \int_{0}^{c}\,csc(\frac{\pi x}{d})dx +\int_{c}^{d}\,csc(\frac{\pi x}{d})dx
$$
ก่อนอื่นจะได้
$$
\int_{}^{}\,csc(\frac{\pi x}{d})dx = \frac{d ln(csc(\frac{\pi x}{d})-cot(\frac{\pi x}{d}))}{\pi} + C
$$
คลิกดูการคำนวณ
สามารถคำนวณอินทิกรัลไม่ตรงแบบได้ 2 วิธี คือ
1. คำนวณการลู่เข้าแบบปกติ จะได้

$$
\int_{0}^{d}\,csc(\frac{\pi x}{d})dx = \lim_{a \to {0}^{+}} \int_{a}^{c}\,csc(\frac{\pi x}{d})dx + \lim_{b \to {d}^{-}} \int_{c}^{b}\,csc(\frac{\pi x}{d})dx = \infty+ \infty =\infty
$$

2. คำนวณการลู่เข้าแบบโคชี จะได้
$$
\int_{0}^{d}\,csc(\frac{\pi x}{d})dx = \lim_{\epsilon \to {0}^{+}} \int_{0+\epsilon }^{c}\,csc(\frac{\pi x}{d})dx + \lim_{\epsilon \to {0}^{+}} \int_{c}^{d-\epsilon }\,csc(\frac{\pi x}{d})dx = \infty
$$