[ปลากะพง ณ บาดาล]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ toota

พิสูจน์ตามความเห็นที่ 5 ครับ
ให้ $p|mn$ และ $p\not | m$ แล้ว
$mn = pq \exists q \in \mathbb{Z}$ และ $m = pq_1+r_1 \exists q_1 \in \mathbb{Z}$ และ $\exists r_1 \in \mathbb{N}$ โดยที่ $0<r_1<p$
ดังนั้น $mn = npq_1 + nr_1$ แต่เนื่องจาก $mn = pq$
เพราะฉะนั้น $nr_1 = pq_2 \exists q_2 \in \mathbb{Z}$
แต่เนื่องจาก $0<r_1<p$ ดังนั้น $p|n$

ผมยังงงบรรทัดสุดท้ายครับ จาก $nr_1 = pq_2$ กับ $0<r_1<p$ แล้วทำไม $p\mid n$ ครับ?

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ POSN_Psychoror

สิ่งที่เราต้องพิสูจน์จะสมมูลกับ "ถ้า $p\mid mn$ และ $p\nmid n$ แล้ว $p\mid m$
จาก $p\mid mn$ ได้ว่า จะมี $k$ ที่ทำให้ $mn=kp$
นั่นคือ $m=\frac{kp}{n}$
แต่จาก $m\in \mathbf{I} $ และ $n\nmid p$
แสดงว่า $n\mid k$
นั่นคือ $ p\mid m$ ตามต้องการ

ตรง $m=\frac{kp}{n}$ กับ $n\nmid p$ แล้วสรุปว่า $n\mid k$ ผมว่ามันแปลกๆ อยู่นะ
อืม.. ถ้าอย่างนั้น ผมก็ไม่ต้องทำข้างบนยาวๆ ก็ได้ ผมแค่บอกว่า
จาก $\frac{mn}{p}$ เป็นจำนวนเต็ม และ $p\nmid m$ แสดงว่า $p\mid n$
ซึ่งใช้วิธีการอ้างเหตุผลเหมือนข้างบน

สิ่งที่อ้างคือความจริงสิ่งที่ต้องการพิสูจน์ ดังนั้นมันจึงกลายเป็นการพิสูจน์แบบงูกินหางครับผม

วิธีการพิสูจน์ที่เจอในหนังสือของท่าน Euclid ลองอ่านที่ http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_lemma