[aaaa]

เฉลยข้อ 13
(i) โดยอสมการ Cauchy-Schwarz ได้ว่า
\[\left(\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\right)\left(a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)\right)
\geq\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=(ab+bc+ca)^2\]
ดังนั้น \(\text{LHS}\geq\frac{ab+bc+ca}{2}\) ใช้อสมการ AM-GM ได้ผลที่ต้องการ

(ii) พิจารณาเทอม
\[\frac{1}{a^2(b+c)}=\frac{abc}{a^2(b+c)}=\frac{bc}{ca+ab}\]
ทำนองเดียวกันได้ว่า
\[\frac{1}{b^2(c+a)}=\frac{ca}{ab+bc},\quad\frac{1}{c^2(a+b)}=\frac{ab}{bc+ca}\]
ให้ \(x=bc,y=ca,z=ab\) ได้อสมการโจทย์สมมูลกับ \(xyz=1\) และ
\[\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq\frac{3}{2}
\]
ซึ่งพิสูจน์ได้ทำนองเดียวกับข้อ 13(i)

(iii) โดยอสมการ Holder ได้ว่า
\[\left(\frac{1}{a(b+c)}+\frac{1}{b(c+a)}+\frac{1}{c(a+b)}\right)\left(a+b+c\right)\left((b+c)+(c+a)+(a+b)\right)\geq
(1+1+1)^3
\]
ดังนั้น
\[\frac{1}{a(b+c)}+\frac{1}{b(c+a)}+\frac{1}{c(a+b)}\geq\frac{3}{2}
\]