อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
ลองโจทย์เรขาคณิตบ้างครับ
17. ให้ \( \large{P_{1},\dots,P_{2548}} \) เป็นจุดยอดของรูป 2548 เหลี่ยมด้านเท่าที่แนบในวงกลมหนึ่งหน่วย ให้ \( \large{ r_{i}} \) แทนความยาวของส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุด P1 กับ Pi , i = 1,2,...,2548 จงหาค่าของ
\[ \large{r_{2}r_{3}\dots r_{2548}} \]
|
เฉลย: เนื่องจาก
\[r_i=2\sin\frac{\left(i-1\right)\pi}{2548}\]
ดังนั้น
\[r_2r_3\dots r_{2548}=
2^{2547}\sin\frac{\pi}{2548}\sin\frac{2\pi}{2548}\dots\sin\frac{2547\pi}{2548}\]
แต่เรามีสูตรอยู่ว่า
\[\sin\frac{\pi}{n}\sin\frac{2\pi}{n}\dots\sin\frac{\left(n-1\right)\pi}{n}
=\frac{n}{2^{n-1}}\]
(ผมจำไม่ได้ว่าเคยมีคนแสดงการพิสูจน์ของสูตรนี้ไว้ในเว็บบอร์ดแห่งนี้
แล้วหรือยัง แต่ถ้าเคยมีแล้วผมก็จำไม่ได้อยู่ดีว่าเค้าพิสูจน์ไว้ยังไง
)
ดังนั้นคำตอบของข้อนี้จึงเท่ากับ 2548 ครับผม
