อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
18. จงหาพหุนาม P(x) ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องคุณสมบัติ
\[ P(\frac{x+y}{2}) = \frac{P(x)+P(y)}{2} \]
ทุกจำนวนจริง x,y
|
เฉลย: จะเห็นว่าถ้า P(x) = ax + b โดยที่ a, b เป็นจำนวนจริง (หรือเชิงซ้อน) ใดๆ
แล้วสมการโจทย์จะเป็นจริง
สมมติให้
\[P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\]
เป็น polynomial degree n
ณ 1
เรารู้ว่าถ้าเรา differentiate P(x) ไป n ครั้งจะได้ constant function:
\[P^{\left(n\right)}\left(x\right)=n!a_n\]
ดังนั้น ถ้าเรา differentiate สมการโจทย์เทียบกับ x ไป n ครั้ง จะได้
\[\frac{1}{2^n}P^{\left(n\right)}\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}P^{\left(n\right)}\left(x\right)\]
นั่นคือ
\[\frac{n!a_n}{2^n}=\frac{n!a_n}{2}\]
แสดงว่า n มีค่าได้ไม่เกิน 1 สรุปได้ว่าคำตอบทั้งหมดของโจทย์ข้อนี้ก็คือ
คำตอบที่กล่าวไว้ตั้งแต่ต้นแล้วนั่นเอง
