[ปลากะพง ณ บาดาล]

ความยาวเส้นมัธยฐานไม่น่าจะใช่ $\frac{a+b}{2}$ นะครับ
ลองอ่านดูใน http://mathworld.wolfram.com/TriangleMedian.html ดูครับ

สูตรของเส้นมัธยฐานที่ลากจากจุดยอด $A$ มายังด้าน $BC$ คือ $m_a = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2AB^2+2AC^2-BC^2\right)} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2c^2+2b^2-a^2\right)}$
ทำนองเดียวกัน เส้นมัธยฐานจากจุดยอด $B$ จะเป็น $m_b = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2c^2+2a^2-b^2\right)}$ และเส้นมัธยฐานจากจุดยอด $C$ จะเป็น $m_c = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)}$

คราวนี้จะเปรียบเทียบว่าเส้นไหนยาวสุด ก็จัดรูปนิดหน่อยครับ...
$$m_a = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2c^2+2b^2-a^2\right)} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(\left[2a^2+2b^2+2c^2\right]-3a^2\right)}$$
$$m_b = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2c^2+2a^2-b^2\right)} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(\left[2a^2+2b^2+2c^2\right]-3b^2\right)}$$
$$m_c = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(\left[2a^2+2b^2+2c^2\right]-3c^2\right)}$$

จาก $c<b<a$ จะได้ว่า $m_c>m_b>m_a$ (ยิ่งตัวลบเยอะค่ายิ่งน้อย) ดังนั้นคำตอบก็คือ $m_c = \sqrt{\frac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)}$