[nooonuii]

ผมใช้ recurrence relation ครับ ไม่รู้ว่ายากเกินไปมั้ย

ให้ $a_n$ แทนจำนวนวิธีที่จะได้ค่าความจริงเป็นเท็จ

$b_n$ แทนจำนวนวิธีที่จะได้ค่าความจริงเป็นจริง

เราจะได้ว่า $a_n=b_{n-1}$ เพราะว่า

$(((A_1\to A_2)\to\cdots\to A_{n-1})\to A_n$

เป็นเท็จก็ต่อเมื่อ $A_n$ เป็นเท็จ และ $(((A_1\to A_2)\to\cdots\to A_{n-1})$ เป็นจริง

โดยใช้การวิเคราะห์แบบเดีัยวกันจะได้ว่า

$b_n=b_{n-1}+2a_{n-1}$

ดังนั้นเราจะได้ว่า

$\pmatrix{a_n \\ b_n}=\pmatrix{0 & 1 \\ 2 & 1}\pmatrix{a_{n-1} \\ b_{n-1}}$

$~~~~~~~~=\cdots$

$~~~~~~~~=\pmatrix{0 & 1 \\ 2 & 1}^{n-2}\pmatrix{a_2 \\ b_2}$

$~~~~~~~~=\pmatrix{0 & 1 \\ 2 & 1}^{n-2}\pmatrix{1 \\ 3}$

แต่

$\pmatrix{0 & 1 \\ 2 & 1}=\pmatrix{1 & 1 \\ 2 & -1} \pmatrix{2 & 0 \\ 0 & -1} \pmatrix{1 & 1 \\ 2 & -1}^{-1}$

ดังนั้น

$\pmatrix{0 & 1 \\ 2 & 1}^{n-2}=\pmatrix{1 & 1 \\ 2 & -1} \pmatrix{2 & 0 \\ 0 & -1}^{n-2} \pmatrix{1 & 1 \\ 2 & -1}^{-1}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~=\pmatrix{1 & 1 \\ 2 & -1} \pmatrix{2^{n-2} & 0 \\ 0 & (-1)^{n-2}}\pmatrix{1 & 1 \\ 2 & -1}^{-1}$

เราจึงได้ว่า

$a_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}{3}$

$b_n=\dfrac{2^{n+1}-(-1)^{n+1}}{3}$