[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

Prove that
$3(a+b+c) \geq 2(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ca})$

เปลี่ยนเป็น $ab$ หรือเปล่าครับ
ผมคิดว่า $a,b,c \geq 0$ ด้วยนะครับ

Proof

from $a,b,c \geq 0$
$2ab+2bc+2ca \geq 0$
$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \geq a^2+b^2+c^2$
$(a+b+c)^2 \geq a^2+b^2+c^2$
$a^2+b^2+c^2 \leq (a+b+c)^2$
from Cauchy-Schwarz Inequality
$2(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}) \leq \sqrt{4+4+4}\sqrt{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$
$=\sqrt{6}\sqrt{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+a^2+b^2+c^2}=\sqrt{6}\sqrt{(a+b+c)^2+a^2+b^2+c^2} \leq 2\sqrt{3}\sqrt{(a+b+c)^2}$
$2(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}) \leq 2\sqrt{3}\sqrt{(a+b+c)^2}$
$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \leq \sqrt{3}\sqrt{(a+b+c)^2} \leq 3(a+b+c)$

$\therefore \sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \leq 3(a+b+c)$

ไม่รู้ถูกหรือเปล่าช่วยเช็คให้ด้วยครับ