[warutT]

ข้อ 26 ครับ

Proof

จาก $(a-b)^2 \geq 0$

$a^2-2ab+b^2 \geq 0$

$a^2+2ab+b^2 \geq 4ab$

$(a+b)^2 \geq 4ab$

$\dfrac{a+b}{2} \geq \dfrac{2ab}{a+b}$

$\therefore -\dfrac{2ab}{a+b} \geq -\dfrac{a+b}{2}$ ...(1)

ในทำนองเดียวกัน

$-\dfrac{2bc}{b+c} \geq -\dfrac{b+c}{2}$ ...(2)

$-\dfrac{2ca}{c+a} \geq -\dfrac{c+a}{2}$ ...(3)

จากอสมการข้อที่ 21

$\dfrac{(a+b)^2}{a+b}+\dfrac{(b+c)^2}{b+c}+\dfrac{(c+a)^2}{c+a}$

$\geq \dfrac{[(a+b)+(b+c)+(c+a)]^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}$

$=2(a+b+c)$ ...(4)

Then,

$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}$

$=\dfrac{(a+b)^2}{a+b}+\dfrac{(b+c)^2}{b+c}+\dfrac{(c+a)^2}{c+a}$

$-\dfrac{2ab}{a+b}-\dfrac{2bc}{b+c}-\dfrac{2ca}{c+a}$

$\geq 2(a+b+c)-(a+b+c)=a+b+c$ (From(1),(2),(3) and (4))

$\therefore \dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a} \geq a+b+c$

จบการพิสูจน์

ปล.ขอโจทย์เพิ่มครับ