[wttskt]

สมมติว่า $a\geq b\geq c$
กรณีที่ b=c=0 เห็นได้ชัดว่าอสมการเป็นจริง
สมมติ $b > 0$

หารอสมการทั้งสองข้างด้วย a และแทน x^2=b/a และ y=c/a จะได้ว่า
$ 3(1+x^2+y) \geq 2(\sqrt{1+x^2 y}+\sqrt{x^4+y}+\sqrt{x^2+y^2}) $
โดยที่ $1\geq x^2 \geq y$

เนื่องจาก $\sqrt{1+x} \leq 1+x/2$ สำหรับทุกจำนวนจริง x
ดังนั้น:
$\sqrt{1+x^2 y} \leq 1+ x^2 y/2$
$\sqrt{x^4+y} = x^2 \sqrt{1+y/x^4} \leq x^2(1+\frac{y}{2x^4})=x^2+\frac{y}{2x^2}$
$\sqrt{x^2+y^2} = ... \leq x(1+\frac{y^2}{2x^2})=x+\frac{y^2}{2x}$

=> $2(\sqrt{1+x^2 y}+\sqrt{x^4+y}+\sqrt{x^2+y^2}) \leq 2(1+ \frac{x^2 y}{2} +x^2+\frac{y}{2x^2}+x+\frac{y^2}{2x})$

และจาก $1\geq x^2\geq y\geq 0$ ได้ว่า
$1-y \geq x –y$ , $1+x \geq 1+\sqrt{y} \geq 2y$ => $1-y \geq y-x$
และ $2x \geq 2x-y$, $2x \geq 2\sqrt{y} \geq y-2x$
ทำให้ได้ว่า
$(1-y)(x^4+1) \geq (1-y)(2x^2) = x(1-y)(2x)\geq x| x-y | | 2x-y | \geq x(x-y)(2x-y)$
=> $(1-y)x^4+3x^2y+(1-y) \geq 2x^3+xy^2$
=> $3(1+x^2+y) \geq 2(1+ \frac{x^2 y}{2} +x^2+\frac{y}{2x^2}+x+\frac{y^2}{2x})
\geq 2(\sqrt{1+x^2 y}+\sqrt{x^4+y}+\sqrt{x^2+y^2}) $.