[beginner01]

5. (แบบถึกๆ แต่ไม่กระจาย)
สังเกตว่าอสมการโจทย์นั้น homogeneous
ดังนั้นจะทำการ normalize โดยให้ $a+b+c=1$
ได้ว่าอสมการโจทย์สมมูลกับ $$\sum_{cyc}a^4(1-a)\leq\frac{1}{12}$$
ให้ $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันนิยามโดย $f(x)=x^4(1-x)$ ได้ว่า $f''(x)=12x^2-20x^3=4x^2(3-5x)$
$\therefore f''(x)\geq 0$ ก็ต่อเมื่อ $x\leq\frac{3}{5}$

เราสามารถแบ่ง $a,b,c$ ได้ 2 กรณีดังนี้
1)$a,b,c\in[0,\frac{3}{5}]$ เห็นได้ว่า $f''(x)\geq 0$
จาก $(a,b,c)\prec(\frac{3}{5},\frac{2}{5},0)$ ดังนั้นจาก Majorization ได้ว่า
$\sum_{cyc}f(a)=\sum_{cyc}a^4(1-a)\leq f(\frac{3}{5})+f(\frac{2}{5})+f(0)$
$=\frac{42}{625}<\frac{42}{504}=\frac{1}{12}$
2)มี $a,b,c$ ที่อยู่ในช่วง $(\frac{3}{5},1]$ เห็นได้ว่าจะมีเพียง 1 ตัวใน $a,b,c$ เท่านั้นที่สามารถอยู่ในช่วงนี้ได้ (มิฉะนั้นแล้วผลบวกจะมีค่ามากกว่า 1) ดังนั้นโดยไม่เสียนัย ให้เป็น $a$ ที่อยู่ในช่วง $(\frac{3}{5},1]$
สังเกตว่า $0,b,c,b+c\in[0,\frac{2}{5})$
เนื่องจาก $f$ เป็น convex ในช่วง $[0,\frac{2}{5})$ และจาก $(b,c)\prec(b+c,0)$ ดังนั้นจาก Majorization ได้ว่า
$\sum_{cyc}a^4(1-a)=f(a)+f(b)+f(c)\leq f(a)+f(b+c)+f(0)$
$=f(a)+f(1-a)=a^4(1-a)+(1-a)^{4}a$
$=a(1-a)[1-3a(1-a)]=\frac{1}{3}[3a(1-a)][1-3a(1-a)]$
จาก $ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}$ ทุกๆ $a,b\in\mathbb{R}$
$\therefore\sum_{cyc}a^4(1-a)\leq\frac{1}{3}\frac{(3a(1-a)+1-3a(1-a))^2}{4}=\frac{1}{12}$

จากทั้ง 2 กรณี ได้ว่า $\sum_{cyc}a^4(1-a)\leq\frac{1}{12}$

อสมการเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $3a(1-a)=1-3a(1-a)$ และ $c=0$ และการสับเปลี่ยน
ดังนั้นอสมการเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $(a,b,c)=\left(\frac{3+\sqrt{3}}{6}t,\frac{3-\sqrt{3}}{6}t,0\right)$ และการสับเปลี่ยนทั้งหมด โดยที่ $t\geq 0$