38.ใช้ AM-HM กับทีละก้อนทางซ้าย
จะได้ LHS$\leq\frac{1}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)=\frac{a+b+c}{3}$
39.ผมคิดวิธีใช้โคชีหรือ AM-GM ไม่ออก
จาก $\frac{a^3+b^3}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\rightarrow 4(a^3+b^3)\geq(a+b)^3$ (โดย Power-mean)
บวกแบบ cyclic ไป จะได้อสมการโจทย์พอดี
40.จากโคชี $(a^2+bc)^2\leq(a^2+b^2)(a^2+c^2)$ ก็คูณแบบ cyclic ไป จะได้อสมการโจทย์พอดี
41.แทน $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ จะได้ฝั่งซ้ายเป็น $\sum_{cyc}\frac{xy}{yz+xz}$ ซึ่งมีค่ามากกว่า $\frac{3}{2}$ โดยอสมการ Nesbitt (จะใช้โคชีหรือ AM-HM พิสูจน์อสมการ Nesbitt ก็ได้)
(ช่วย hint ข้อ 37. สักนิดได้ไหมครับ
)