อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ faa
ถ้าคำตอบที้งสามของสมการ $x^3-8x^2+cx+d=0$ เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกันและผลบวกของคำตอบเท่ากับ 8เมื่อ c,d เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว c+d มีค่าเท่าใด ขอคำแนะนำด้วยครับ
|
ให้รากทั้งสามเป็น $p,q,r$
จาก $d>0$ ได้ว่า $pqr<0$ แบ่งได้ 2 กรณีคือรากทั้งสามน้อยกว่า 0 หรือ มีรากตัวเดียวที่น้อยกว่า 0
สมมติว่า $p,q,r<0$ ทั้งหมด จะได้ $p+q+r<0<8$ เกิดข้อขัดแย้งกับที่ $p+q+r=8$
ดังนั้นมีรากตัวเดียวที่น้อยกว่า 0
พิจารณา $64=(p+q+r)^2=(p^2+q^2+r^2)+2(pq+qr+rp)$
$\therefore c=pq+qr+rp=\frac{64-(p^2+q^2+r^2)}{2}>0$ ($\because c=pq+qr+rp>0$)
นั่นคือ $p^2+q^2+r^2<64$
ที่เหลือก็ไล่ไปเรื่อยๆละครับ ได้ยังไงก็ตามนั้น สังเกตว่า $p,q,r$ เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด (ตามที่โจทย์กำหนด) แล้วก็เห็นชัดๆว่าค่าสัมบูรณ์ของทั้งสามตัวนี้มีค่าน้อยกว่า 8 ยังไงก็ไล่ไม่มากหรอกครับ