[RoSe-JoKer]

...เห็นไม่มีคนโพสต่อเลยผมเลยมาโพสวิธีของผมเลยละกัน
ข้อ 42 จาก power-mean เราเหลือที่จะต้องพิสูจน์ว่า
$3 \leq \sum_{cyc} \sqrt{\frac{a+2b}{3c}}$ ซึ่งเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัดจากอสมการ AMGM (AMGM ก้อนใหญ่ๆทั้ง 3 ก้อนนั้นเลย)
ข้อ 43 จากอสมการ AMGM เราเหลือที่จะต้องพิสูจน์ว่า
$(a^3+7)(b^3+7)(c^3+7)\geq 27(ab+1)(bc+1)(ca+1)$
ดังนั้นจึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$(a^3+7)(b^3+7) \geq 9(ab+1)^2$
ซึ่งจากอสมการโคชีเราได้ว่า $(a^3+7)(b^3+7)\geq (a^\frac{3}{2}b^\frac{3}{2}+7)^2$
ดังนั้นจึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$a^\frac{3}{2}b^\frac{3}{2}+7\geq 3ab+3 ให้ (ab)^\frac{1}{2}=x$
เราจะต้องพิสูจน์ว่า
$x^3+4\geq 3x^2$
ก็ต่อเมื่อ
$(x+1)(x-2)^2\geq 0 $จบการพิสูจน์