อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer
ข้อ 43 จากอสมการ AMGM เราเหลือที่จะต้องพิสูจน์ว่า
$(a^3+7)(b^3+7)(c^3+7)\geq 27(ab+1)(bc+1)(ca+1)$
ดังนั้นจึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$(a^3+7)(b^3+7) \geq 9(ab+1)^2$
ซึ่งจากอสมการโคชีเราได้ว่า $(a^3+7)(b^3+7)\geq (a^\frac{3}{2}b^\frac{3}{2}+7)^2$
ดังนั้นจึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$a^\frac{3}{2}b^\frac{3}{2}+7\geq 3ab+3 ให้ (ab)^\frac{1}{2}=x$
เราจะต้องพิสูจน์ว่า
$x^3+4\geq 3x^2$
ก็ต่อเมื่อ
$(x+1)(x-2)^2\geq 0 $จบการพิสูจน์
|
แจ่มมากเลยครับ ใช้อสมการได้ครบเครื่องดีจริงๆ
ข้อนี้ผมคิดขึ้นมาโดยใช้อสมการ Nesbitt
กับการใช้เงื่อนไขที่ทำให้สมการเป็นจริง
จะเห็นว่าสมการเป็นจริงเมื่อ $a=b=c=2$
ดังนั้นเราสามารถใช้อสมการที่มอง $2$ ให้เป็นตัวแปรได้
$bc=\dfrac{2bc}{2}\leq\dfrac{b^3+c^3+2^3}{6}$
ดังนั้น
$bc+1\leq \dfrac{b^3+c^3+14}{6}$
ถ้าให้ $x=a^3+7,y=b^3+7,z=c^3+7$ จะได้
$LHS\geq 6\Big(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\Big)\geq 9$