ข้อ 14. นี่ก็แปลก คำตอบที่เป็นจำนวนจริงมันมีอย่างน้อย 3 คำตอบ และก็ยากด้วย ทำกันไปได้ไง ? ใครมีวิธีที่ง่ายกว่านี้บอกที รู้สึกเหนื่อยมาก ในที่นี้จะสมมติว่าได้ (x, y) เป็นจำนวนเต็มสวย ๆ คือ (x, y) = (6, -3) ก็ได้คำตอบ คือ 45
\(\quad\quad x^3 - 3xy^2 = 54 \quad \cdots (1) \)
\(\quad\quad y^3 - 3x^2y = 297 \quad \cdots (2) \)
สมมติให้ y = mx แทนลงใน (1) และ (2) จะได้ว่า
\(\quad\quad x^3(1 - 3m^2) = 54 \quad \cdots (3)\)
\(\quad\quad x^3(m^3 - 3m) = 297 \quad \cdots (4) \)
\((3)/(4) : \quad\quad \displaystyle{ \frac{1 - 3m^2}{m^3 - 3m} = \frac{2}{11} } \Rightarrow 2m^3 + 33m^2 - 6m - 11 = 0 \quad \)
\( \Rightarrow (2m + 1)(m^2 + 16m - 11) = 0 \quad\)
\( \therefore \quad\quad\quad\quad\quad m = \frac{-1}{2}, -8 \pm 5\sqrt{3} \)
\( ถ้า\quad m = -\frac{1}{2} \quad แทนลงใน \,(3) \, จะได้ว่า\, x = 6 \quad \therefore x^2 + y^2 = x^2(1 + m^2) = 36(\frac{5}{4}) = 45 \)
\( ถ้า\quad m = -8 - 5\sqrt{3} \quad แทนลงใน \,(3) \, จะได้ว่า\, x = \quad \cdots \Rightarrow ทำต่อไม่ไหวแล้ว \)