[คุณชายน้อย]

ก็เห็นได้ชัดครับ ... ลองไล่ ๆ ดูจากคุณสมบัติของ Eigen vector และการ Transformation ของ Matrix ครับ
พิจารณาใน Case 3 มิติ ทั่วไป ทรงรีอยู่ในรูป $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2} = 1$

และกรณีที่ a = b = c = 1 สมการจะเป็นทรงกลม $x^2+y^2+z^2 = 1$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการไอเกน $x^T~Ax = x^T~\lambda x = x^T~x = \bmatrix{x & y & z }\bmatrix{x \\ y \\ z}=x^2+y^2+z^2 = 1 ~~(เมื่อ~\lambda =1 , x = (x,y,z) \in \mathbb{R} ^3)$
และในกรณีทั่วไปของทรงกลม รัศมี r จะได้ว่า
$x^T~Ax = x^T~\lambda x = x^T~x =\lambda \bmatrix{x & y & z }\bmatrix{x \\ y \\ z}=\lambda (x^2+y^2+z^2) = \lambda r^2 = Const ~~(เมื่อ~x=(x,y,z) \in \mathbb{R} ^3)$

ทำนองเดียวกัน จะพบว่า ทรงรีอยู่ในรูป $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2} = 1$ จะมีสมการสอดคล้องกับ $x^T~Ax = Const$

และสามารถขยายไปสู่ p Dimension ได้เช่นเดียวกันครับผม ...
(หมายเหตุ : โดย WLOG จะ Define [x] = x (เมื่อ [x] เป็นเมทริกซ์ 1x1))