[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

สองข้อนี้มีอสมการโคชีเข้าไปร่วมด้วยแต่สามารถใช้อสมการอื่นก็ได้
โดยเฉพาะข้อ 49 ผมมีอยู่สามวิธี

$a,b,c>0$

48. ถ้า $a+b+c=6$ แล้ว $$\dfrac{1}{\sqrt{a+\sqrt{b+c}}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+\sqrt{c+a}}}+\dfrac{1}{\sqrt{c+\sqrt{a+b}}}\geq\dfrac{3}{2}$$

49. $(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq\Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)\Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{ b}+\dfrac{a}{c}\Big)$

มีคนมาเฉลยแล้ว ผมขอเฉลยอีกวิธีละกัน

48.

My Solution:

Cauchy; $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq\sqrt{6(a+b+c)}=6$

Cauchy; $\sqrt{a+\sqrt{b+c}}+\sqrt{b+\sqrt{c+a}}+\sqrt{c+\sqrt{a+b}}\leq \sqrt{3(a+b+c+\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})}\leq 6$

AM-HM; $LHS\geq\dfrac{9}{\sqrt{a+\sqrt{b+c}}+\sqrt{b+\sqrt{c+a}}+\sqrt{c+\sqrt{a+b}}}\geq\dfrac{3}{2}$

49.

First Solution:

ให้ $x=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

$y=\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$

จะได้อสมการสมมูลกับ

$3+x+y\leq xy$

$(x-1)(y-1)\geq 4$

ซึ่งเป็นจริงเนื่องจาก $x\geq 3,y\geq 3$

Second Solution:

ใช้อสมการจาก Iran 2005

$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq\Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)^2$

ในทำนองเดียวกัน

$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq\Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\Big)^2$

คูณทั้งสองอสมการจะได้อสมการที่ต้องการ

Third Solution:

ใช้อสมการโคชีล้วนๆ

$a+b+c=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\cdot\sqrt{ab}+\sqrt{\dfrac{b}{c}}\cdot\sqrt{bc}+\sqrt{\dfrac{c}{a}}\cdot\sqrt{ca}$
$~~~~~~~~~~~\leq\sqrt{\Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)(ab+bc+ca)}$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\sqrt{\dfrac{b}{a}}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{ab}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{bc} }+
\sqrt{\dfrac{a}{c}}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{ca}}$
$~~~~~~~~~~~~~\leq\sqrt{\Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\Big)\Big(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\Big)}$

ดังนั้น

$(a+b+c)^2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2\leq \Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big)\Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+
\dfrac{a}{c}\Big)(ab+bc+ca)\Big(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\Big)$

แต่ว่า

$(a+b+c)\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)=(ab+bc+ca)\Big(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\Big)$

ดังนั้นเราได้อสมการที่ต้องการ