อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare
ร่วมด้วยช่วยกัน
50.$x,y,z\in\mathbb{R}$ โดยที่ $-\frac{\sqrt{2}}{2}\not\in${x+y,y+z,z+x}
$$\sum_{cyc}\dfrac{(1+x^2)(1+y^2)}{(1+\sqrt{2}(x+y))^2}\geq \dfrac{3}{4}$$
|
เห็นไม่มีคนโพสซักที...
เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$\dfrac{(1+x^2)(1+y^2)}{(1+\sqrt{2}(x+y))^2}\geq \frac{1}{4}$
ก็ต่อเมื่อ
$3+2x^2+2y^2+4x^2y^2\geq 2\sqrt{2} (x+y) +4xy$
ซึ่งเป็นจริงจากอสมการ Am-Gm
$(2x^2+1)+(2y^2+1)+(4x^2y^2+1)\geq 2\sqrt{2} (x+y) +4xy$
จบการพิสูจน์