อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-
1. จงหาค่าของอนุกรม $2\bullet 1! + 5\bullet 2!+ 10\bullet 3! + ... + (n^2+1)\bullet n!$
|
แบบนี้ป่าวครับ
$\sum_{n = 1}^{n} (n^2+1)!=\sum_{n = 1}^{n}[(n+1)^2-2n]n!=\sum_{n = 1}^{n}(n+1)(n+1)!-2n(n)!=\sum_{n = 1}^{n}[(n+2)!-(n+1)!]-[2(n+1)!-2(n)!]=\sum_{n = 1}^{n}(n+2)!-3(n+1)!+2n!$
นำออกมากระจาย
$\sum_{n = 1}^{n}(n+2)!-3(n+1)!+2n!=[(n+2)!-3(n+1)!+2n(n)!]+[(n+1)!-3(n)!+2(n-1)!]+[(n)!-3(n-1)!+2(n-2)!]+...+[(4)!-3(3)!+2(2)!]+[(3)!-3(2)!+2(1)!]$
สังเกตุว่าพจน์สุดท้ายของวงเล็บใด้ยกเว้น 2 วงเล็บสุดท้ายจะ ตัดกันหมดภายใน 2 วงเล็บต่อไป แบบ telescoping อย่างที่คุณ หยินหยางได้ กล่าวไว้
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง
แนวคิดจัดให้อยู่ในรูปของ $\sum_{i = 1}^{n} [(n+1)^2-2n]n!$ แล้วจัดรูปอีกหน่อย จะกระจายได้โดยใช้หลักการของ telescoping
แล้วจะได้คำตอบคือ $n(n+1)!$
|
จะเหลือ $(n+2)!-2(n+1)!+2(1)!-(2)!=(n+2)!-2(n+1)!=n(n+1)!