ไม่ทราบว่าเป็นแคลคูลัสระดับไหนครับ
เพราะมีวิธีคิดอยู่หลายวิธีขึ้นอยู่กับระดับของแคลคูลัสที่ใช้ครับ
แต่ผมทำแบบง่ายสุดก่อนละกัน คิดว่าอยู่ในแคล 1 นะครับ
จะคำนวณโดยใช้วิธี
Surface of Revolution
ขออ้างสูตรจากลิงค์ข้างบนนะครับ
ให้ $f:[-a,a]\to\mathbb{R}$ นิยามโดย $f(x)=\sqrt{a^2-x^2}$
กราฟของ $f$ จะเป็นรูปครึ่งวงกลมรัศมี $a$ ครับ
ซึ่งถ้าเรานำครึ่งวงกลมรัศมี $a$ มาหมุนรอบแกน $x$ เราจะได้ทรงกลมรัศมี $a$
$r(x)$ ในสูตรจะเป็นระยะทางจากแกนหมุนไปยังกราฟของ $f$ ซึ่งจะมีค่าเท่ากับ $f(x)$ นั่นเอง
ดังนั้น
$\displaystyle{A=2\pi\int_{-a}^ar(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx}$
$\displaystyle{~~=2\pi\int_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2}\sqrt{1+\dfrac{x^2}{a^2-x^2}}\,dx}$
$\displaystyle{~~=2\pi\int_{-a}^a a\,dx}$
$~~=4\pi a^2$