โจทย์ข้อ 15 ของน้อง gool นี่ยากมากทีเดียวครับ เป็นโจทย์ IMO'2001 ผมก็คิดไม่ออกเหมือนกัน แต่มีเฉลยที่สสวท.ทำไว้ครับ เป็นวิธีพิสูจน์ที่สวยงามหมดจดจริงๆครับ
จะพิสูจน์ว่า
\[ \large{ \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} \geq \frac{a^{4/3}}{a^{4/3} + b^{4/3} + c^{4/3}} } \]
ซึ่งสมมูลกับ
\[ (b^{4/3} + c^{4/3})(a^{4/3} + a^{4/3} + b^{4/3} + c^{4/3}) \geq 8a^{2/3}bc \]
ซึ่งพิสูจน์โดยใช้ AM-GM กับทั้งสองเทอมก็จะได้อสมการที่ต้องการครับ
เข้าไปดูในเวบอื่นรู้สึกว่าจะมีวิธีที่ใช้ Cauchy's inequality ด้วยครับ แต่ผมว่ายากกว่าวิธีนี้
สำหรับข้ออื่นยังมีคนแอบคิดอยู่รึปล่าวครับเนี่ย
