[gools]

ข้อ 8 จะพิสูจน์ในกรณีทั่วไปนะครับ
ให้จำนวนนับ \(n \geq 3\) และ \(a_1,...,a_n\) เป็นจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริงลบ ให้
\[(n-2) \sum_{i<j} a_i a_j + \sum_{i<j<k} a_i a_j a_k = \frac{2n(n-1)(n-2)}{3}\]
จงพิสูจน์ว่า
\[\sum_{1 \leq i \leq n} a_i \geq \frac{2}{n-1} \sum_{i<j} a_i a_j\]
จะพิสูจน์ในกรณี \(n=3\)
ให้ \(ab+bc+ca+abc=4\)
ต้องพิสูจน์ว่า \(a+b+c \geq ab+bc+ca\)
\[
\begin{array}{rcl}
ab+bc+ca+abc&=&4\qquad \\
\text{ให้ }a \leq b \leq c \text{ โดยไม่เสียนัยทั่วไป จะได้ว่า }3a^{2}+a^{3} &\leq& 4 \\
\therefore\qquad a &\leq& 1 \\
\text{ทำให้มี }c \geq 1 \text{ และ }b&=&\frac{4-ac}{a+b+ac} \\
\text{ แทนค่า }b\text{ ใน }a+b+c-ab-bc-ca\text{ จะได้ว่า} \\
&&a+b+c-ab-bc-ca \\
&=&a(a+c+ac)+4-ac+c{a+c+ac}-a(4-ac)-c(4-ac)-ac(a+c+ac) \\
&=&(a+c-2)^{2}+ac(c-1)(1-a) \geq 0 \qquad \therefore\text{ เป็นจริง} \\
\end{array}
\]
จะพิสูจน์ในกรณี \(n=4\)
ให้ \(f(x)=x^{4}-Ax^{3}+Bx^{2}-Cx+D=0\)
ให้ \(a,b,c,d\) เป็นคำตอบของสมการ จะได้ว่า
\[
A=a+b+c+d,B=ab+ac+ad+bc+bd+cd,C=abc+bcd+cda+dab
\]
diff ทั้ง 2 ข้างของสมการ จะได้ว่า \(4x^{3}-3Ax^{2}+2Bx-C=0\)
ให้ \(\alpha,\beta,\gamma\) เป็นคำตอบของสมการ
จะได้ว่า \(\alpha+\beta+\gamma=\frac{3A}{4},\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{B}{2},\alpha\beta\gamma=\frac{C}{4}\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha\beta\gamma=\frac{2B+C}{4}=4\qquad\qquad\text{ เนื่องจาก }(2B+C=16)\)
เนื่องจาก \(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha\beta\gamma=4\)
ดังนั้น \(\alpha+\beta+\gamma=\frac{3A}{4} \geq \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{B}{2}\)
จะได้ว่า \(A \geq \frac{2}{3}B\)
เนื่องจาก \(A=a+b+c+d \text{ และ } B=ab+ac+ad+bc+bd+cd\)
ดังนั้นอสมการเป็นจริงใน \(n=4\)

เมื่อพิสูจน์กรณี \(n=5 \text{ ก็สร้าง } g(x)\) ขึ้นมาแล้วพิสูจน์โดยใช้วิธีเดียวกับกรณี \(n=4\) ครับ ทำอย่างนี้ไปเรื่อยๆ โดยใช้วิธีเดิมก็จะได้ว่าอสมการข้างต้นที่เราต้องการพิสูจน์เป็นจริง