อันที่จริง โจทย์ข้อนี้ น่าจะเป็น Combinatorics มากกว่า แต่ผมเห็นว่ามันมีเรขาคณิตเกี่ยวข้อง เลยนำมาไว้ในนี้ครับ
จงแสดงว่า เราสามารถระบายสีระนาบด้วยสีแดง และสีเขียว ซึ่งทำให้ระนาบสอดคล้องเงื่อนไขสี่ข้อต่อไปนี้
(1) มีเส้นตรงเป็นอนันต์เส้นที่ไม่มีจุดสีแดงอยู่บนเส้นตรงเลย;
(2) วงกลมใดใดในระนาบ จะมีจุดบนเส้นรอบวงมีสีแดงเป็นอนันต์จุด;
(3) วงกลมใดใดในระนาบจะมีจุดสีแดงอยู่
ภายในวงกลม และจุดสีเขียว
ภายในวงกลมเสมอ;
(4) ทุก $n \geq 3$ จะมีรูป $n$ เหลี่ยมปกติที่มีจุดยอดทุกจุดเป็นสีแดงอย่างน้อยหนึ่งรูป และสีเขียวอย่างน้อยหนึ่งรูปเสมอ
(หมายเหตุ : (3) หมายความว่า จุดสีแดง และ จุดสีเขียว dense ในระนาบ)
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก
ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย
ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก
(Vasc's)
$$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$