เอาล่ะ มาทำกันต่อ ไม่ได้เขียนละเีอียดนะครับ แต่อ่านแล้วพอเข้าใจ(หรือเปล่า?)
เห็นได้ชัดว่า $p$ ไม่ก็ $q$ ตัวใดตัวหนึ่งต้องเป็นเลขคี่ส่วนอีกตัวเป็นเลขคู่ นั่นคือ $2$ (เพราะ $p,q$ เป็นจำนวนเฉพาะ)
ดังนั้น แยกเป็น $2$ กรณีดังนี้
1)$p=2$ ได้ว่า $2^x=q^{y}+1$
พิจารณา $q$ ได้ว่าสามารถแบ่งได้เป็น $2$ กรณีย่อยดังนี้
i)$q\equiv 1\pmod{4}$ ได้ว่า $2^x=q^{y}+1\equiv 2\pmod{4}$ ดังนั้น $x=1$ แต่จาก $x>1$ จึงเกิดข้อขัดแย้งขึ้น
ii)$q\equiv 3\pmod{4}$ จาก $2^x\equiv 0\pmod{4}$ (เพราะ $x\geq 2$)
$\therefore (-1)^{y}+1\equiv q^{y}+1=2^x\equiv 0\pmod{4}$ นั่นคือ $y$ เป็นจำนวนคี่
ให้ $y=2k+1;\exists k\in\mathbb{Z}^{+}$ ได้ว่า $2^x=(q+1)(q^{2k}-q^{2k-1}+\cdots -q+1)$
แต่จากที่ $q^{2k}-q^{2k-1}+\cdots -q+1$ เป็นจำนวนคี่ ซึ่งมีค่ามากกว่า $1$ (เพราะ $q\geq 3, k\geq 1$)
$\therefore 2\not|q^{2k}-q^{2k-1}+\cdots -q+1$ ขัดแย้งกับที่ $2^x=(q+1)(q^{2k}-q^{2k-1}+\cdots -q+1)$
ดังนั้นในกรณีนี้ไม่มีคำตอบ
2)q=2 ได้ว่า $p^{x}-1=2^y$
$(p-1)(p^{x-1}+p^{x-2}+\cdots +1)=2^y$
สมมติ $x$ เป็นเลขคี่ จะได้ว่า $2\not|p^{x-1}+p^{x-2}+\cdots +1$ โดยที่ $p^{x-1}+p^{x-2}+\cdots +1>1$ จึงขัดแย้งกับที่ $(p-1)(p^{x-1}+p^{x-2}+\cdots +1)=2^y$
$\therefore 2|x$
ให้ $x=2a;\exists a\in\mathbb{Z}^{+}$ ได้ว่า
$(p^a-1)(p^a+1)=2^y$
เห็นได้ว่า $p^a-1,p^a+1$ เป็นกำลังของ $2$ ซึ่งผลต่างของทั้งสองมีค่า $2$
$\therefore p^a+1=4,p^a-1=2$ นั่นคือ $p^a=3$ นั่นก็คือ $p=3,a=1$
$\therefore x=2,y=3$
และจาก $3^2-2^3=1$ จริง
ดังนั้นคำตอบทั้งหมดของสมการ $p^x-q^y=1$ ก็คือ $(p,q,x,y)=(3,2,2,3)$ เท่านั้น
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ littledragon
ขอโทษครับลืมนึกถึงบทพิสูจน์อันแสนยากอะครับ
ขอถามนะครับ  ถ้าเจอข้อแบบนี้แล้วเป็นข้อแสดงวิธีทำควรเขียนแสดงวิธีทำยังไงดีครับ หรือว่าต้องเขียนพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ครั บ |
ก็ไม่ต้องใช้ท.บ.นี้เลยไงครับ คิดซะว่าเราไม่รู้จักท.บ.นี้ครับ แล้วข้อที่คุณ Juniors มาโพสต์ไว้ ก็สามารถทำโดยไม่ต้องรู้ว่าท.บ.นี้เป็นจริงด้วยครับ
โดยส่วนตัว ผมเองก็เพิ่งรู้จากคุณ Juniors นี่แหละครับว่ามันมีท.บ.แบบนี้ด้วย
อะไรที่มันยากๆ อย่าเพิ่งรู้เลยครับ เอาพื้นฐานให้แน่น ใช้ให้แม่น ให้คล่องเสียก่อนแล้วค่อยไปทำความรู้จักกับอะไรที่มันยากๆขึ้นไปครับ เหมือนกับการสร้างตึก ถ้าฐานไม่ดี ตึกก็จะถล่มในที่สุด
ป.ล.ข้อของคุณ spotanus น่าจะมีคำตอบหลายคำตอบเอามากๆ เช่น $q=r=2,p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง $502$ กับ $638$ เป็นต้น มีวิธีที่ไม่ถึกจนเกินไปไหมครับ ข้อนั้น?