[beginner01]

4.ให้ $\displaystyle a=\frac{x+y}{2z},b=\frac{y+z}{2x},c=\frac{z+x}{2y}$ โดย $x,y,z>0$ จะได้ว่า $a+b+c+2=4abc$
(ให้ $x,y,z>0$ ได้ เพราะ สมมติว่า $x<0$ จาก $a>0$ หาก $y>0$ แบ่งเป็น 2 กรณี
1)$z<0$ จะได้ว่า $c<0$ ขัดแย้งกับ $c>0$
2)$z>0$ จะได้ว่า $y<0$ ขัดแย้งกับ $y>0$
$\therefore y<0$ ได้อีกว่า $z<0$ แต่ถ้าทั้งหมดน้อยกว่า $0$ ก็ให้ $x'=-x,y'=-y,z'=-z$ ซึ่งเห็นได้ว่า $x',y',z'>0$ และ $\displaystyle a=\frac{x'+y'}{2z'},b=\frac{y'+z'}{2x'},c=\frac{z'+x'}{2y'}$)

ได้ว่าโจทย์สมมูลกับ $x,y,z>0$ $\displaystyle\sum_{cyc}\frac{2z}{x+y}\geq3\geq\sum_{cyc}\sqrt{\frac{4xz}{(x+y)(y+z)}}$
ฝั่งซ้าย เป็นจริงจาก Nesbitt
ฝั่งขวา จาก AM-GM ได้ว่า $\displaystyle\sum_{cyc}\sqrt{\frac{4xz}{(x+y)(y+z)}}=\sum_{cyc}2\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(y+z)}}\leq\sum_{cyc}$ $\displaystyle\left(\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)=3$ ตามต้องการ