อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18
$\int e^{ax}sin(bx)dx$ a,b เป็นค่าคงตัว
|
ใช้ integration by parts
ให้ $u=e^{ax}$ ได้ $du=ae^{ax} dx$ และให้ $dv=\sin(bx) dx$ ได้ $v=-\frac{1}{b}\cos(bx)$
$$\int e^{ax}sin(bx)dx=-\frac{1}{b}e^{ax}\cos(bx)-\int -\frac{1}{b}ae^{ax}\cos(bx)dx$$
ได้สมการที่1
$$=-\frac{1}{b}e^{ax}\cos(bx)+\frac{a}{b}\int e^{ax}\cos(bx)dx $$
ใช้ integration by parts ครั้งที่2
ให้ $u=e^{ax}$ ได้ $du=ae^{ax}dx$ และให้ $dv=\cos(bx)dx$ ได้ $v=\frac{1}{b}\sin(bx)$
ได้สมการที่2
$$\int e^{ax}\cos(bx)dx=\frac{1}{b}e^{ax}\sin(bx)-\frac{a}{b}\int e^{ax}\sin(bx)dx $$
(2) แทนใน (1)
$$\int e^{ax}\sin(bx)dx=-\frac{1}{b}e^{ax}\cos(bx)+\frac{a}{b}(\frac{1}{b}e^{ax}\cos(bx)-\frac{a}{b}\int e^{ax}\sin(bx)dx)$$
$$=-\frac{1}{b}e^{ax}\cos(bx)+\frac{a}{b^2}e^{ax}\cos(bx)-\frac{a^2}{b^2}\int e^{ax}\sin(bx)dx)$$
$$\frac{a^2+b^2}{b^2}(\int e^{ax}\sin(bx)dx)=-\frac{1}{b} e^{ax}\cos(bx)+\frac{a}{b^2}e^{ax}\cos(bx)$$
$$\int e^{ax}\sin(bx)dx=\frac{b^2}{b^2(a^2+b^2)}e^{ax}(a\sin(bx)-b\cos(bx))+c$$
$$=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin(bx)-b\cos(bx))+c$$