[beginner01]

3.ยกกำลังสอง ได้ว่าโจทย์สมมูลกับ
$\displaystyle\sum_{sym}\frac{a}{b}+2\sum_{cyc}\sqrt{\left(\frac{a+b}{c}\right)\left(\frac{c+a}{b}\right)}\geq$ $\displaystyle\frac{6(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}$

จากโคชี ได้ว่า $\displaystyle\sum_{sym}\frac{a}{b}+2\sum_{cyc}\sqrt{\left(\frac{a+b}{c}\right)\left(\frac{c+a}{b}\right)}\geq\sum_{sym}\frac{a} {b}+2\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)=3\sum_{sym}\frac{a}{b}$

จาก AM-GM ได้ว่า $\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1\geq\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$
$\displaystyle\therefore 3+\sum_{sym}\frac{a}{b}\geq\frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}$

ดังนั้น $\displaystyle 3\sum_{sym}\frac{a}{b}\geq 2(3+\sum_{sym}\frac{a}{b})\geq\frac{6(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}$ ตามต้องการ