เอาโจทย์เฉพาะของวันที่สองมาลงนะครับ...มีข้อที่ง่ายมากๆถึง 3 ข้อเลยทีเดียว คือข้อ 1 2 3 น่าจะทำกันได้หมดนะครับ ส่วนข้อ 4 คงต้องมีความรู้ในเทคนิค บางอย่างนิดหน่อยนะครับ (ซึ่งคิดว่าหลายๆคนอาจจะไม่รู้) ส่วน ข้อ 5 ผมขี้เกียจอ่านโจทย์ครับ 555 ส่วนข้อ 6 ผมว่าสวยดีนะครับ ผมประทับใจข้อนี้มากๆเลย ยากนิดหน่อยนะครับ ทุกๆคนคงทำได้อยู่แล้วแหละครับถ้ามีเวลาพอกัน
Problem 1
ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็ม และ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ สำหรับจำนวนนับ $k$ ใดๆ กำหนด $A_k={n\in N: p^k|a^n-b^n}$
จงแสดงว่าถ้ามี $t\in N$ ที่ $t$ เป็นสมาชิกของ $A_1$ แล้วเราได้ว่า $A_k$ ไม่เป็นเซตว่างสำหรับทุกๆ $k\in N$
Problem 2
มีฟังก์ชั่น 1-1 ที่ส่งจาก N ไปยัง Q ซึ่ง
$f(xy)=f(x)+f(y)$
สำหรับทุกจำนวนนับ x และ y หรือไม่
Problem 3
ให้ $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมนูนซึ่งมีสมบัติว่า MA•MC+MA•CD=MB•MD เมื่อ M เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม AC และ BD ถ้าเส้นแบ่งครึ่งมุม ACD ตัดรังสี BA ที่จุด K แล้วจงพิสูจน์ว่า BC=DK ก็ต่อเมื่อ AB//CD
Problem 4
ให้ $k$ เป็นจำนวนนับจงแสดงว่ามีจำนวนนับ $m,n$ เป็นจำนวนอนันต์ชุดที่สอดคล้องกับสมการ
$(m-n)^2=kmn+m+n$
Problem 5
ชั้น ม.1 มีนักเรียนชาย 80 คน และนักเรียนหญิง 80 คน ในวันจันทร์ถึงวันศุกร์ หนึ่งสัปดาห์ก่อนสอบปลายภาค ครูมีหนังสือ 16 เล่มให้นักเรียนยืมไปอ่านที่บ้าน 1 คืนและต้องนำมาคืนในตอนเช้าของวันรุ่งขึ้นทันทีโดยที่นักเรียนแต่ละคนมีสิทธิ์ยืมหนังสือได้เพียงเล่มเดียวและเพียงครั้งเดียวเท่านั้น (จะไม่ยืมเลยก็ได้) จงแสดงว่าจะต้องมีวันอยู่สองวันและหนังสืออยู่สองเล่มที่
1.ไม่มีนักเรียนคนใดยืมหนังสือสองเล่มนั้นในสองวันนั้นเลย หรือ
2.มีนักเรียน 4 คนซึ่งเป็นเพศเดียวกันหมดที่ได้ยืมหนังสือสองเล่มนั้นในสองวันนั้น
Problem 6
จงหาพหุนามทั้งหมดในรูป
$P(x)=(-1)^nx^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_n$
ซึ่งมีสมบัติคือ
$1.{a_1,a_2...a_n}=$ {0,1} และ
$2.P(x)$ มีรากทั้งหมดเป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน