4.(ได้รับคำใบ้อันใหญ่จากคุณ Rose-Joker)
นิยามเซต $S_k=\left\{m+n|(m-n)^2=kmn+m+n;m,n\in\mathbb{N}\right\}$
สมมติว่ามีคู่อันดับ $(X,Y)$ ซึ่งสอดคล้องสมการโจทย์ในกรณี $k$ ที่ fix ไว้อยู่่จำกัดคู่
ได้ว่า $S_k$ เป็นเซตจำกัด ซึ่งต้องมีค่าสูงสุด
ให้ $(X,Y)$ เป็นคู่อันดับที่ $X+Y$ มีค่าสูงที่สุด สังเกตว่า หาก $(X,Y)\in S_k$ แล้ว $(Y,X)\in S_k$
และสมมติ $X=Y$ จะได้ว่า $0=kXY+X+Y$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ดังนั้น โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติ $X<Y$
พิจารณาสมการโจทย์ ได้ว่าสมมูลกับ $m^2-(2n+kn-1)m+(n^2-n)=0$
พิจารณาสมการ $m^2-(2Y+kY-1)m+(Y^2-Y)=0$ ได้ว่ามีคำตอบสองคำตอบโดยคำตอบหนึ่งคือ $X$ ส่วนอีกอันให้เป็น $Z$
เห็นได้ว่า $(Z,Y)$ สอดคล้องสมการโจทย์ และจาก $Z=2Y+kY-1-X\in\mathbb{Z}$ และ $2Y+kY-1-X>X$
ดังนั้น $Z\in\mathbb{N}$ (เพราะ $kY\geq 1,2Y>2X$) นั่นคือ $(Z,Y)\in S_k$
แต่ $Z+Y=(2Y+kY-1-X)+Y>X+Y$ ซึ่งขัดแย้งกับที่สมมติว่า $X+Y$ เป็นค่าที่สูงสุดที่เป็นไปได้
ดังนั้นเซต $S_k$ เป็นเซตอนันต์ ตามต้องการ