ผมเอาลิงค์มาให้เพื่อไขความกระจ่างละกันคับ เพิ่อตอบกรณี equality case แล้วก็เพื่อคนที่ขี้เกียจไปนั่ง search หาใน mathlinks
-(Hoad Jing แรพ inequality?)ให้ $a,b,c\geq 0$ โดยที่ $a+b+c=3$ แล้้ว $\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a}{4-b}\leq 1$
พิสูจน์ (Credit: Rose-Joker)
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.ph...39807&t=271837
สังเกตว่าอสมการเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $(a=0$ หรือ $b=c$ หรือ $a=b$) และ ($2b=a+c$)
จาก $a+b+c=3$ แล้ว $2b=a+c$ ได้ว่า $b=1$
ในกรณีที่ $b=c$ หรือ $a=b$ จะได้ว่า $(a,b,c)=(1,1,1)$
ส่วนในกรณีที่ $a=0$ จะได้ว่า $c=2$ นั่นคือ $(a,b,c)=(0,1,2)$ และการเรียงสับเปลียนแบบ cyclic
-กลับมาที่อสมการโจทย์ คุณ rose-joker ตกไปนิดนึงครับว่าหาก $a=b=c=0$ แล้วอสมการจะเป็นสมการ เพราะว่าถ้า $a=b=c=0$ ต่อให้สเกลยังไง $a+b+c$ ก็ไม่เท่ากับ 3 ครับ ต้องแยกมาเป็นกรณีต่างหาก
กลับมาที่อสมการโจทย์อีกครั้ง ตอนนี้ $(a,b,c)\not =(0,0,0)$ เราก็สามารถ normalize ให้ $a+b+c=3$ แล้วก็ทำตามที่คุณ rose-joker ทำ จึงได้ว่าอสมการเป็นสมการก็ต่อเมื่ออสมการ Hoad Jing แรพ เป็นสมการด้วย เพราะว่า $\displaystyle8\sum_{cyc} a^3+30\sum_{cyc} a^2b+15\sum_{cyc} ab^2+84abc>0$
ดังนั้นถ้าอสมการโจทย์ดั้งเดิม เป็นสมการแล้ว $a=b=c$ หรือว่า $a=0,2b=c$ สำหรับ $k\geq 0$ ใดๆ และการสับเปลี่ยนแบบ cyclic ด้วย
แต่อย่าลืมสังเกตว่าตอนแรกสุดเราใช้โคชีไปแล้ว ก็มานั่งเช็คไล่กรณีครับว่าแต่ละกันใช้ได้หรือไม่ ซึ่งก็พบว่าใช้ได้ทุกกรณี
ดังนั้นอสมการเป็นสมการ ก็ต่อเมื่อ $a=b=c$ หรือ $a=0,2b=c$ สำหรับ $k\geq 0$ ใดๆ และการสับเปลี่ยนแบบ cyclic ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
ป.ล. ชื่ออสมการคือ Hoad Jing แรพ? !?!?
ทำไมมันชื่อประหลาดจังครับ?