ลองทำดูครับ
เนื่องจาก \( \sqrt{a^{3}+1} = \sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)} \leq \frac{(a^{2}-a+1)+(a+1)}{2} = \frac{a^{2}+2}{2} \)
\(\therefore \quad \text{ เราต้องพิสูจน์ว่า } \displaystyle
\frac{a^2}{(a^2 + 2)(b^2 + 2)} + \frac{b^2}{(b^2 + 2)(c^2 + 2)} + \frac{c^2}{(c^2 + 2)(a^2 + 2)} \geq \frac{1}{3}\)
\[
\begin{array}{rcl}
\displaystyle a^{2}(c^{2}+2)+b^{2}(a^{2}+2)+c^{2}(b^{2}+2) &\geq& \frac{1}{3}(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2) \\
6a^{2}+6b^{2}+6c^{2}+3a^{2}b^{2}+3b^{2}c^{2}+3c^{2}a^{2} &\geq& 8+4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}b^{2}c^{2} \\
&=& 4a^{2}+4b^{2}+4c^{2}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}+72 \\
2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} &\geq& 72 \\
\text{แต่ } 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2} &\geq& 24 \text{ และ } a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} \geq 48 \text{ โดยอสมการ } AM-GM
\end{array}
\]
ดังนั้นจะได้ว่าอสมการเป็นจริงตามต้องการ
|