[S!xTo12Y]

ขอขอบคุณคุณ RoSe-JoKer มากนะครับสำหรับโจทย์ที่มีความสวยมากมาย

ได้ว่าอสมการเป็นจริง
$\Leftrightarrow \displaystyle{\sum_{cyc}}\frac{a}{b+c}-\frac{3}{2} \geqslant \frac{2}{3}-\frac{2(ab+bc+bc)}{3(a^2+b^2+c^2)}$
$\Leftrightarrow \displaystyle{\sum_{cyc}}\frac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)} \geqslant \frac{\sum_{cyc}(a-b)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}$
$\Leftrightarrow \displaystyle{\sum_{cyc}}(a-b)^2\left(\frac{3(a^2+b^2+c^2)-2(a+c)(b+c)}{6(a^2+b^2+c^2)(a+c)(b+c)}\right) \geqslant 0 $
$\Leftrightarrow \displaystyle{\sum_{cyc}}(a-b)^2\left(\frac{(2a-c)^2+(2b-c)^2+2(a-b)^2}{12(a^2+b^2+c^2)(a+c)(b+c)}\right) \geqslant 0 $
ซึ่งเป็นจริงตามต้องการครับ